Упр.1.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (x^2-9y^2)/(x+4y)=0, x^2-9y^2=0, x-3y=0;
б) v(3x+y)=2, 3x+y=4, |3x+y|=2;
в) (x^2+12xy+36y^2)/(x+6y), x^2+y^2+1=0, x+6y=0;
г) (x^2-4xy+5y^2)/(x+y)=0, x-5y=0, (x-5y)/(x+y)=0;
д) v(x^2-3xy)=2y, (x-4y)(x+y)=0, v(x-4y)/v(x+y)=0;
е) v(x+y-3)=-3, x^2+y^2=2xy-3, x+y=12.

Подробный ответ

а) Рассмотрим первое уравнение:
$$\frac{x^2-9y^2}{x+4y}=0.$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-9y^2=0,\quad x+4y\ne 0.$$
Но из уравнения $$x^2-9y^2=0$$ следует $$x=3y$$ или $$x=-3y$$, а уравнение $$x-3y=0$$ задаёт только часть этих решений. Значит, равносильности нет.
Ответ: нет.
б)
$$\sqrt{3x+y}=2 \iff 3x+y=4,$$
так как при возведении в квадрат получаем именно это уравнение, а правая часть неотрицательна.
Кроме того,
$$|3x+y|=2$$
не равносильно $$3x+y=4$$, так как из модуля следует $$3x+y=2$$ или $$3x+y=-2$$.
Равносильны первое и второе уравнения.
Ответ: 1 и 2.
в)
$$\frac{x^2+12xy+36y^2}{x+6y}=0.$$
Числитель раскладывается так:
$$x^2+12xy+36y^2=(x+6y)^2.$$
Тогда
$$\frac{(x+6y)^2}{x+6y}=0,$$
что возможно только при $$x+6y=0$$, но тогда знаменатель обращается в нуль. Следовательно, решений нет.
Уравнение $$x^2+y^2+1=0$$ также не имеет действительных решений.
Уравнение $$x+6y=0$$ имеет решения.
Значит, равносильны первое и второе уравнения, так как оба не имеют решений.
Ответ: 1 и 2.
г)
$$\frac{x^2-4xy+5y^2}{x+y}=0.$$
Для нуля дроби нужен нулевой числитель:
$$x^2-4xy+5y^2=0,\quad x+y\ne 0.$$
Рассмотрим числитель как квадратный трёхчлен по $$x$$:
$$D=(-4y)^2-4\cdot 1\cdot 5y^2=16y^2-20y^2=-4y^2\le 0.$$
Равенство нулю возможно только при $$y=0$$, тогда $$x=0$$, но это запрещает знаменатель. Значит, первое уравнение не имеет решений.
Уравнение $$x-5y=0$$ имеет решения, а
$$\frac{x-5y}{x+y}=0$$
не равносильно ему из-за условия $$x+y\ne 0$$.
Ответ: нет.
д)
$$\sqrt{x^2-3xy}=2y.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$2y\ge 0$$, то есть $$y\ge 0$$. Возведём в квадрат:
$$x^2-3xy=4y^2,$$
$$x^2-3xy-4y^2=0,$$
$$ (x-4y)(x+y)=0.$$
Следовательно, первое и второе уравнения равносильны.
А выражение
$$\frac{\sqrt{x-4y}}{\sqrt{x+y}}=0$$
требует ещё и $$x+y>0$$, поэтому оно не равносильно уравнению $$ (x-4y)(x+y)=0.$$
Ответ: 1 и 2.
е)
$$\sqrt{x+y-3}=-3.$$
Левая часть не может быть отрицательной, значит решений нет.
Из уравнения
$$x^2+y^2=2xy-3$$
получаем
$$x^2-2xy+y^2=-3,$$
$$ (x-y)^2=-3,$$
что невозможно в действительных числах. Значит, и это уравнение не имеет решений.
Уравнение $$x+y=12$$ имеет решения.
Следовательно, равносильны первое и второе уравнения.
Ответ: 1 и 2.