Упр.9 Вариант 1 Контрольная работа 4 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов прогрессии равна −28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии через $$b_1$$, а знаменатель — через $$q$$. Тогда

$$b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4.$$

По условию:

$$\begin{cases} b_5-b_4=168,\\ b_3+b_4=-28. \end{cases}$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$\begin{cases} b_1q^4-b_1q^3=168,\\ b_1q^2+b_1q^3=-28. \end{cases}$$

Вынесем общий множитель:

$$\begin{cases} b_1q^3(q-1)=168,\\ b_1q^2(1+q)=-28. \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $$b_1q^2$$:

$$b_1q^2=\frac{-28}{1+q}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{-28}{1+q}\cdot q(q-1)=168.$$

Упростим:

$$-28q(q-1)=168(1+q)$$

$$q(q-1)=-6(1+q)$$

$$q^2-q=-6-6q$$

$$q^2+5q+6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$q^2+5q+6=(q+2)(q+3)=0.$$

Отсюда

$$q=-2 \quad \text{или} \quad q=-3.$$

Найдём $$b_1$$.

1) При $$q=-2$$:

$$b_1q^2=\frac{-28}{1+q}=\frac{-28}{-1}=28,$$

$$b_1=\frac{28}{(-2)^2}=7.$$

2) При $$q=-3$$:

$$b_1q^2=\frac{-28}{1+q}=\frac{-28}{-2}=14,$$

$$b_1=\frac{14}{(-3)^2}=\frac{14}{9}.$$

Ответ

$$b_1=7,\ q=-2$$
или
$$b_1=\frac{14}{9},\ q=-3.$$