Упр.8 Вариант 2 Контрольная работа 4 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии корень 3, -1, 1/корень 3, … . *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 kontr4/2/8 95

Дана геометрическая прогрессия: $$\sqrt{3},\ -1,\ \frac{1}{\sqrt{3}},\ldots$$

Найдём первый член и знаменатель:

$$b_1=\sqrt{3}, \qquad q=\frac{-1}{\sqrt{3}}.$$

Сумма первых $$5$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}.$$

Подставим значения:

$$S_5=\frac{\sqrt{3}\left(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^5-1\right)}{-\frac{1}{\sqrt{3}}-1}.$$

Вычислим степень:

$$\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^5=-\frac{1}{9\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$S_5=\frac{\sqrt{3}\left(-\frac{1}{9\sqrt{3}}-1\right)}{-\frac{1}{\sqrt{3}}-1} =\frac{\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1+9\sqrt{3}}{9\sqrt{3}}\right)}{-\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}.$$

Упростим:

$$S_5=\frac{1+9\sqrt{3}}{9(1+\sqrt{3})}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$S_5=\frac{(1+9\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{9(1-3)}=\frac{27+\sqrt{3}}{9(1+\sqrt{3})}.$$

Ответ

$$\frac{27+\sqrt{3}}{9(1+\sqrt{3})}$$