Упр.8.36 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

x+1, если -3<= x<=0; x2-4x+1, если 02.
а) Укажите D(f);
б) вычислите: f(-5), f(-2), f(О), f(2), f(4);
в) постройте график функции;
г) найдите E(f).

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} x+1, & -3\le x\le 0,\\ x^2-4x+1, & 0<x\le 2,\\ \dfrac{2}{x}, & x>2. \end{cases} $$

а) Область определения — объединение всех промежутков, на которых задана функция:

$$ D(f)=[-3;0]\cup(0;2]\cup(2;+\infty)=[-3;+\infty). $$

б) Найдём значения функции:

$$ f(-5)\ \text{не существует, так как}\ -5\notin D(f). $$

$$ f(-2)=-2+1=-1, $$

$$ f(0)=0+1=1, $$

$$ f(2)=2^2-4\cdot 2+1=4-8+1=-3, $$

$$ f(4)=\dfrac{2}{4}=\dfrac12. $$

в) Построим график по частям:

• на отрезке $$[-3;0]$$ — отрезок прямой $$y=x+1$$;
• на промежутке $$0<x\le 2$$ — часть параболы $$y=x^2-4x+1$$;
• при $$x>2$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$.

Ключевые точки для построения:

$$ (-3,-2),\ (0,1),\ (1,-2),\ (2,-3),\ (4,\tfrac12). $$

г) Найдём область значений. Для первой части:

$$ y=x+1,\quad x\in[-3;0]\Rightarrow y\in[-2;1]. $$

Для второй части:

$$ y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3,\quad x\in(0;2]\Rightarrow y\in[-3;1). $$

Для третьей части:

$$ y=\dfrac{2}{x},\quad x>2\Rightarrow 0<y<1. $$

Объединяя полученные промежутки, получаем:

$$ E(f)=[-3;1]. $$

Ответ

$$ D(f)=[-3;+\infty),\quad f(-5)\ \text{не существует},\quad f(-2)=-1,\quad f(0)=1,\quad f(2)=-3,\quad f(4)=\dfrac12,\quad E(f)=[-3;1]. $$