Упр.8.35 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

2×2-4x+1, x<=2; -3(x-2)2 + 1, если 2

Подробный ответ

Дана функция

$$ f(x)= \begin{cases} 2x^2-4x+1, & x\le 2,\\ -3(x-2)^2+1, & 2<x\le 3. \end{cases} $$

а) Область определения состоит из всех значений $x$, при которых задана хотя бы одна из формул:

$$ D(f)=(-\infty;2]\cup(2;3]=(-\infty;3]. $$

б) Найдём значения функции:

$$ f(0)=2\cdot 0^2-4\cdot 0+1=1; $$

$$ f(2)=2\cdot 2^2-4\cdot 2+1=8-8+1=1; $$

$$ f(3)=-3(3-2)^2+1=-3\cdot 1+1=-2; $$

$$ f(4)\ \text{не существует, так как}\ 4\notin D(f); $$

$$ f(5)\ \text{не существует, так как}\ 5\notin D(f). $$

в) Построим график по частям.

1) $$y=2x^2-4x+1=2(x-1)^2-1$$ — парабола с вершиной $(1;-1)$, ветви направлены вверх. Для построения возьмём точки:

$$ (0;1),\ (1;-1),\ (2;1). $$

Эта часть графика берётся при $x\le 2$.

2) $$y=-3(x-2)^2+1$$ — парабола с вершиной $(2;1)$, ветви направлены вниз. Для построения возьмём точки:

$$ (2;1),\ (2{,}5;0{,}25),\ (3;-2). $$

Эта часть графика берётся при $2<x\le 3$.

г) Найдём область значений.

На первом участке $$y=2(x-1)^2-1\ge -1,$$ причём при $x=1$ значение $-1$ достигается, а при $x\to -\infty$ значения неограниченно возрастают.

На втором участке $$y=-3(x-2)^2+1,$$ и на отрезке $2<x\le 3$ значения меняются от числа, меньшего или равного $1$, до $-2$; наибольшее значение всей функции уже найдено на первом участке и не ограничено сверху.

Минимальное значение всей функции равно $-2$ и достигается при $x=3$.

Следовательно,

$$ E(f)=[-2;+\infty). $$