Упр.8.35 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}2x^2-4x+1, & x\leq 2,\\-3(x-2)^2+1, & 2а) Укажите $$D(f)$$;
б) вычислите: $$f(0), f(2), f(3), f(4), f(5)$$;
в) постройте график функции;
г) найдите $$E(f)$$.

Подробный ответ

Дана функция

$$f(x)= \begin{cases} 2x^2-4x+1, & x\le 2,\\ -3(x-2)^2+1, & 2<x\le 3. \end{cases}$$

а) Область определения состоит из всех значений $$x$$, при которых задана хотя бы одна из формул:

$$D(f)=(-\infty;2]\cup(2;3]=(-\infty;3].$$

б) Найдём значения функции:

$$f(0)=2\cdot 0^2-4\cdot 0+1=1;$$

$$f(2)=2\cdot 2^2-4\cdot 2+1=8-8+1=1;$$

$$f(3)=-3(3-2)^2+1=-3\cdot 1+1=-2;$$

$$f(4)\ \text{не существует, так как}\ 4\notin D(f);$$

$$f(5)\ \text{не существует, так как}\ 5\notin D(f).$$

в) Построим график по частям.

1) $$y=2x^2-4x+1=2(x-1)^2-1$$ — парабола с вершиной $$(1;-1)$$, ветви направлены вверх. Для построения возьмём точки:

$$(0;1),\ (1;-1),\ (2;1).$$

Эта часть графика берётся при $$x\le 2$$.

2) $$y=-3(x-2)^2+1$$ — парабола с вершиной $$(2;1)$$, ветви направлены вниз. Для построения возьмём точки:

$$(2;1),\ (2{,}5;0{,}25),\ (3;-2).$$

Эта часть графика берётся при $$2<x\le 3$$.

г) Найдём область значений.

На первом участке $$y=2(x-1)^2-1\ge -1,$$ причём при $$x=1$$ значение $$-1$$ достигается, а при $$x\to -\infty$$ значения неограниченно возрастают.

На втором участке $$y=-3(x-2)^2+1,$$ и на отрезке $$2<x\le 3$$ значения меняются от числа, меньшего или равного $$1$$, до $$-2$$; наибольшее значение всей функции уже найдено на первом участке и не ограничено сверху.

Минимальное значение всей функции равно $$-2$$ и достигается при $$x=3$$.

Следовательно,

$$E(f)=[-2;+\infty).$$