Упр.8.32 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

1. а) $$y=\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-3}}$$

   Для существования выражения нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, а знаменатель не равнялся нулю:

   $$ \begin{cases} 2x+1 \ge 0,\\ x-3 > 0 \end{cases} $$

   Отсюда:

   $$ x \ge -\frac12,\quad x>3. $$

   Пересечение условий:

   $$ x \in (3;+\infty). $$

2. б) $$y=\sqrt{\frac{3x+1}{7x-4}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$ \frac{3x+1}{7x-4}\ge 0,\qquad 7x-4\ne 0. $$

   Нули числителя и знаменателя:

   $$ 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13,\qquad 7x-4=0 \Rightarrow x=\frac47. $$

   Исследуем знак дроби. Получаем:

   $$ x\in\left(-\infty;-\frac13\right]\cup\left(\frac47;+\infty\right). $$

3. в) $$y=\sqrt{\frac{2x+1}{x-3}}$$

   Требуется:

   $$ \frac{2x+1}{x-3}\ge 0,\qquad x\ne 3. $$

   Критические точки:

   $$ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. $$

   По знакам дроби:

   $$ x\in\left(-\infty;-\frac12\right]\cup(3;+\infty). $$

4. г) $$y=\frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{7x-4}}$$

   Здесь нужно, чтобы числитель был определён, а знаменатель — определён и не равен нулю:

   $$ \begin{cases} 3x+1\ge 0,\\ 7x-4>0 \end{cases} $$

   Получаем:

   $$ x\ge -\frac13,\qquad x>\frac47. $$

   Пересечение условий:

   $$ x\in\left(\frac47;+\infty\right). $$

Ответ

а) $$\left(3;+\infty\right)$$;
б) $$\left(-\infty;-\frac13\right]\cup\left(\frac47;+\infty\right)$$;
в) $$\left(-\infty;-\frac12\right]\cup(3;+\infty)$$;
г) $$\left(\frac47;+\infty\right)$$.