Упр.8.31 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

1. а) $$y=\frac{\sqrt{7x+1}}{x^2-x-2}$$

   Для области определения нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю:

   $$ \begin{cases} 7x+1\ge 0,\\ x^2-x-2\ne 0. \end{cases} $$

   Отсюда

   $$ x\ge -\frac17. $$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$ x^2-x-2=(x-2)(x+1). $$

   Тогда

   $$ x\ne -1,\quad x\ne 2. $$

   С учётом условия $$x\ge -\frac17$$ получаем:

   $$ D_y=\left[-\frac17;-1\right)\cup\left(-1;2\right)\cup(2;+\infty). $$

2. б) $$y=\sqrt{\frac{3x+7}{x+2}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$ \begin{cases} \dfrac{3x+7}{x+2}\ge 0,\\ x\ne -2. \end{cases} $$

   Найдём нули числителя и знаменателя:

   $$ 3x+7=0 \Rightarrow x=-\frac73,\qquad x+2=0 \Rightarrow x=-2. $$

   Исследуем знак дроби:

   $$ \frac{3x+7}{x+2}\ge 0 \Rightarrow x\in\left(-\infty;-\frac73\right]\cup(-2;+\infty). $$

3. в) $$y=\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-5x+4}$$

   Требуется:

   $$ \begin{cases} x-2\ge 0,\\ x^2-5x+4\ne 0. \end{cases} $$

   Разложим знаменатель:

   $$ x^2-5x+4=(x-1)(x-4). $$

   Тогда

   $$ x\ge 2,\quad x\ne 1,\quad x\ne 4. $$

   С учётом условия $$x\ge 2$$ получаем:

   $$ D_y=[2;4)\cup(4;+\infty). $$

4. г) $$y=\sqrt{\frac{x-2}{5-2x}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$ \begin{cases} \dfrac{x-2}{5-2x}\ge 0,\\ 5-2x\ne 0. \end{cases} $$

   Преобразуем:

   $$ \frac{x-2}{5-2x}=\frac{x-2}{-(2x-5)}=-\frac{x-2}{2x-5}. $$

   Тогда

   $$ \frac{x-2}{2x-5}\le 0,\qquad x\ne \frac52. $$

   Решение неравенства:

   $$ x\in[2;\frac52). $$

Ответ

а) $$\left[-\frac17;-1\right)\cup\left(-1;2\right)\cup(2;+\infty)$$;
б) $$\left(-\infty;-\frac73\right]\cup(-2;+\infty)$$;
в) $$[2;4)\cup(4;+\infty)$$;
г) $$[2;\frac52)$$.