Упр.8.31 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. а) $$y=\frac{\sqrt{7x+1}}{x^2-x-2}$$

   Для области определения нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю:

   $$\begin{cases} 7x+1\ge 0,\\ x^2-x-2\ne 0. \end{cases}$$

   Отсюда

   $$x\ge -\frac17.$$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$

   Тогда

   $$x\ne -1,\quad x\ne 2.$$

   С учётом условия $$x\ge -\frac17$$ получаем:

   $$D_y=\left[-\frac17;-1\right)\cup\left(-1;2\right)\cup(2;+\infty).$$

2. б) $$y=\sqrt{\frac{3x+7}{x+2}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$\begin{cases} \dfrac{3x+7}{x+2}\ge 0,\\ x\ne -2. \end{cases}$$

   Найдём нули числителя и знаменателя:

   $$3x+7=0 \Rightarrow x=-\frac73,\qquad x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$

   Исследуем знак дроби:

   $$\frac{3x+7}{x+2}\ge 0 \Rightarrow x\in\left(-\infty;-\frac73\right]\cup(-2;+\infty).$$

3. в) $$y=\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-5x+4}$$

   Требуется:

   $$\begin{cases} x-2\ge 0,\\ x^2-5x+4\ne 0. \end{cases}$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$

   Тогда

   $$x\ge 2,\quad x\ne 1,\quad x\ne 4.$$

   С учётом условия $$x\ge 2$$ получаем:

   $$D_y=[2;4)\cup(4;+\infty).$$

4. г) $$y=\sqrt{\frac{x-2}{5-2x}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$\begin{cases} \dfrac{x-2}{5-2x}\ge 0,\\ 5-2x\ne 0. \end{cases}$$

   Преобразуем:

   $$\frac{x-2}{5-2x}=\frac{x-2}{-(2x-5)}=-\frac{x-2}{2x-5}.$$

   Тогда

   $$\frac{x-2}{2x-5}\le 0,\qquad x\ne \frac52.$$

   Решение неравенства:

   $$x\in[2;\frac52).$$

Ответ

а) $$\left[-\frac17;-1\right)\cup\left(-1;2\right)\cup(2;+\infty)$$;
б) $$\left(-\infty;-\frac73\right]\cup(-2;+\infty)$$;
в) $$[2;4)\cup(4;+\infty)$$;
г) $$[2;\frac52)$$.