Упр.8.26 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

1. $$y=\frac{\sqrt{3x-2}}{x^2-x+2}$$

   Для существования функции нужно:

   $$3x-2\ge 0,\qquad x^2-x+2\ne 0.$$

   Из первого неравенства получаем:

   $$x\ge \frac23.$$

   Проверим знаменатель:

   $$D=1-8=-7<0,$$

   значит, квадратное уравнение $$x^2-x+2=0$$ корней не имеет, и знаменатель никогда не равен нулю.

   Следовательно, область определения:

   $$\left[\frac23;+\infty\right).$$

2. $$y=\frac{\sqrt{x^2-3x-4}}{16-x^2}$$

   Требуется:

   $$x^2-3x-4\ge 0,\qquad 16-x^2\ne 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-3x-4=(x-4)(x+1).$$

   Тогда

   $$ (x-4)(x+1)\ge 0 \Rightarrow x\le -1 \text{ или } x\ge 4.$$

   Кроме того,

   $$16-x^2\ne 0 \Rightarrow x\ne -4,\; x\ne 4.$$

   Итак, область определения:

   $$(-\infty;-4)\cup(-4;-1]\cup(4;+\infty).$$

3. $$y=\frac{\sqrt{x+2}}{3-2x+x^2}$$

   Нужно, чтобы:

   $$x+2\ge 0,\qquad 3-2x+x^2\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ge -2.$$

   Проверим знаменатель:

   $$3-2x+x^2=x^2-2x+3,$$

   $$D=4-12=-8<0,$$

   значит, корней нет и знаменатель не обращается в нуль.

   Следовательно, область определения:

   $$[-2;+\infty).$$

4. $$y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{1-4x^2}$$

   Требуется:

   $$4-x^2\ge 0,\qquad 1-4x^2\ne 0.$$

   Из первого неравенства:

   $$-2\le x\le 2.$$

   Знаменатель не должен быть равен нулю:

   $$1-4x^2\ne 0 \Rightarrow x\ne -\frac12,\; x\ne \frac12.$$

   Итак, область определения:

   $$[-2;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;\tfrac12)\cup(\tfrac12;2].$$

Ответ

а) $$\left[\frac23;+\infty\right)$$;
б) $$(-\infty;-4)\cup(-4;-1]\cup(4;+\infty)$$;
в) $$[-2;+\infty)$$;
г) $$[-2;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;\tfrac12)\cup(\tfrac12;2]$$.