Упр.8.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} -\dfrac{1}{x}, & x<0,\\ -3x^2+6x-4, & 0\leq x\leq 2. \end{cases}$$ а) Укажите $$D(f)$$;
б) вычислите: $$f(-3),\ f(-1),\ f(0),\ f(2),\ f(5)$$;
в) постройте график функции;
г) найдите $$E(f)$$.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{1}{x}, & x<0,\\ -3x^2+6x-4, & 0\le x\le 2. \end{cases}$$

а) Область определения состоит из всех значений $$x$$, при которых задана хотя бы одна из частей функции:

$$D(f)=(-\infty;0)\cup[0;2]=(-\infty;2].$$

б) Найдём значения функции:

$$f(-3)=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3},\qquad f(-1)=-\frac{1}{-1}=1,$$
$$f(0)=-3\cdot 0^2+6\cdot 0-4=-4,\qquad f(2)=-3\cdot 2^2+6\cdot 2-4=-4.$$

Так как $$5\notin D(f)$$, то $$f(5)$$ не существует.

в) Построим график по частям.

1) При $$x<0$$ график задаётся функцией $$y=-\dfrac{1}{x}$$ — это ветвь гиперболы. Для построения можно взять точки:

$$(-1;1),\;(-2;\tfrac12),\;(-3;\tfrac13),\;(-\tfrac12;2).$$

2) При $$0\le x\le 2$$ график задаётся функцией $$y=-3x^2+6x-4$$ — это парабола, ветви направлены вниз. Найдём несколько точек:

$$f(0)=-4,\qquad f(1)=-1,\qquad f(2)=-4.$$

Значит, на отрезке $$[0;2]$$ нужно построить дугу параболы через точки $$(0;-4)$$, $$(1;-1)$$, $$(2;-4)$$.

г) Найдём область значений.

Для части $$y=-\dfrac{1}{x}$$ при $$x<0$$ получаем $$y>0$$, то есть значения из интервала $$(0;+\infty)$$.

Для части $$y=-3x^2+6x-4$$ на отрезке $$[0;2]$$ максимум достигается при $$x=1$$ и равен $$-1$$, а на концах отрезка значение равно $$-4$$. Значит, эта часть даёт значения $$[-4;-1]$$.

Итак,

$$E(f)=[-4;-1]\cup(0;+\infty).$$