Упр.8.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

-1/x, если x<0; -3x2+6x-4, 0<=x<=2. а) Укажите D(f); б) вычислите: f(-3), f(-1), f(0), f(2), f(5); в) постройте график функции; г) найдите E(f).

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{1}{x}, & x<0,\\ -3x^2+6x-4, & 0\le x\le 2. \end{cases} $$

а) Область определения состоит из всех значений $x$, при которых задана хотя бы одна из частей функции:

$$ D(f)=(-\infty;0)\cup[0;2]=(-\infty;2]. $$

б) Найдём значения функции:

$$ f(-3)=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3},\qquad f(-1)=-\frac{1}{-1}=1, $$
$$ f(0)=-3\cdot 0^2+6\cdot 0-4=-4,\qquad f(2)=-3\cdot 2^2+6\cdot 2-4=-4. $$

Так как $5\notin D(f)$, то $f(5)$ не существует.

в) Построим график по частям.

1) При $x<0$ график задаётся функцией $y=-\dfrac{1}{x}$ — это ветвь гиперболы. Для построения можно взять точки:

$$ (-1;1),\;(-2;\tfrac12),\;(-3;\tfrac13),\;(-\tfrac12;2). $$

2) При $0\le x\le 2$ график задаётся функцией $y=-3x^2+6x-4$ — это парабола, ветви направлены вниз. Найдём несколько точек:

$$ f(0)=-4,\qquad f(1)=-1,\qquad f(2)=-4. $$

Значит, на отрезке $[0;2]$ нужно построить дугу параболы через точки $(0;-4)$, $(1;-1)$, $(2;-4)$.

г) Найдём область значений.

Для части $y=-\dfrac{1}{x}$ при $x<0$ получаем $y>0$, то есть значения из интервала $(0;+\infty)$.

Для части $y=-3x^2+6x-4$ на отрезке $[0;2]$ максимум достигается при $x=1$ и равен $-1$, а на концах отрезка значение равно $-4$. Значит, эта часть даёт значения $[-4;-1]$.

Итак,

$$ E(f)=[-4;-1]\cup(0;+\infty). $$

Ответ

$$ D(f)=(-\infty;2],\quad f(-3)=\frac13,\quad f(-1)=1,\quad f(0)=-4,\quad f(2)=-4,\quad f(5)\text{ не существует}, $$
$$ E(f)=[-4;-1]\cup(0;+\infty). $$