Упр.8.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Приведите пример функции $$y=f(x)$$, у которой:
   а) $$D(f)=E(f)$$;
   б) $$D(f)$$ включено в $$E(f)$$;
   в) $$E(f)$$ включено в $$D(f)$$;
   г) $$D(f)$$ не включено в $$E(f)$$ и $$E(f)$$ не включено в $$D(f)$$.

1. Если требуется, чтобы область определения и область значений совпадали, подойдёт функция $$y=x$$, так как $$D(f)=E(f)=\mathbb{R}.$$
2. Если нужно, чтобы $$D(f)\subset E(f),$$ можно взять $$y=x^2.$$ Тогда $$D(f)=\mathbb{R},$$ а $$E(f)=[0;+\infty),$$ и действительно $$\mathbb{R}\subset [0;+\infty)$$ не выполняется, поэтому этот пример не подходит. Возьмём, например, $$y=\sqrt{x}.$$ Для неё $$D(f)=[0;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),$$ то есть снова равенство. Подойдёт функция $$y=x^2+x^4,$$ у которой $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[0;+\infty),$$ и тогда $$D(f)\subset E(f)$$ не выполняется. Значит, для строгого включения удобно взять функцию с областью определения, являющейся подмножеством области значений, например $$y=\sqrt{x}$$ не подходит. Подходит, например, $$y=\ln x,$$ где $$D(f)=(0;+\infty),\ E(f)=\mathbb{R},$$ и $$D(f)\subset E(f).$$
3. Если требуется $$E(f)\subset D(f),$$ можно взять $$y=x^2,$$ так как $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[0;+\infty),$$ и $$[0;+\infty)\subset \mathbb{R}.$$
4. Если нужно, чтобы ни одно из включений не выполнялось, подойдёт $$y=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$D(f)=(0;+\infty),\ E(f)=(-\infty;0),$$ и ни $$D(f)\subset E(f),$$ ни $$E(f)\subset D(f)$$ не выполняется.

Ответ: а) $$y=x$$; б) $$y=\ln x$$; в) $$y=x^2$$; г) $$y=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$.