Упр.7.9 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Диагональ прямоугольника равна $$10\ \text{см}$$, а его периметр равен $$28\ \text{см}$$. Найдите стороны прямоугольника.
2. Какое двузначное число в $$4$$ раза больше суммы своих цифр и в $$3$$ раза больше произведения цифр?

1. Пусть $$a$$ и $$b$$ — стороны прямоугольника. Тогда по теореме Пифагора:
   $$a^2+b^2=10^2=100.$$
   По условию периметр равен $$28$$ см, значит:
   $$2(a+b)=28,$$
   откуда
   $$a+b=14.$$
   Получаем систему:
   $$\begin{cases} a^2+b^2=100,\\ a+b=14. \end{cases}$$
   Выразим $$a$$:
   $$a=14-b.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$(14-b)^2+b^2=100;$$
   $$196-28b+b^2+b^2=100;$$
   $$2b^2-28b+96=0;$$
   $$b^2-14b+48=0;$$
   $$(b-6)(b-8)=0.$$
   Тогда $$b=6$$ или $$b=8$$. Соответственно, $$a=8$$ или $$a=6$$.
2. Пусть двузначное число имеет вид $$10a+b$$, где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц. По условию:
   $$10a+b=4(a+b),$$
   $$10a+b=3ab.$$
   Из первого уравнения:
   $$10a+b=4a+4b,$$
   $$6a=3b,$$
   $$b=2a.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$10a+2a=3a\cdot 2a,$$
   $$12a=6a^2,$$
   $$2a=a^2,$$
   $$a(a-2)=0.$$
   Так как $$a$$ — цифра десятков, то $$a\neq 0$$, значит $$a=2$$. Тогда
   $$b=2\cdot 2=4.$$
   Искомое число:
   $$10\cdot 2+4=24.$$

Ответ

1) $$6$$ см и $$8$$ см; 2) $$24$$.