Упр.7.8 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2019 года. Если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить по $$1$$, то дробь станет равна $$\frac{1}{2}$$, а если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится $$146$$. Найдите исходную дробь.
2. Задание учебника 2010 года. Сумма двух натуральных чисел равна $$50$$, а произведение на $$11$$ меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.

1. Пусть $$a$$ и $$b$$ — числитель и знаменатель дроби соответственно. Тогда по условию:
   $$\frac{a+1}{b+1}=\frac12,\qquad a^2+b^2=146.$$
   Из первого уравнения:
   $$2(a+1)=b+1 \Rightarrow b=2a+1.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$a^2+(2a+1)^2=146,$$
   $$a^2+4a^2+4a+1=146,$$
   $$5a^2+4a-145=0.$$
   Найдём корни:
   $$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-145)=16+2900=2916,$$
   $$\sqrt{D}=54.$$
   Тогда
   $$a=\frac{-4\pm 54}{10}.$$
   Получаем:
   $$a_1=5,\qquad a_2=-5{,}8.$$
   Так как числитель дроби должен быть целым числом, берём $$a=5$$. Тогда
   $$b=2\cdot 5+1=11.$$
   Исходная дробь:
   $$\frac{5}{11}.$$
2. Пусть данные натуральные числа — $$a$$ и $$b$$. Тогда:
   $$a+b=50,$$
   а по условию «произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов»:
   $$ab=a^2-b^2-11.$$
   Из первого уравнения:
   $$a=50-b.$$
   Подставим во второе:
   $$b(50-b)=(50-b)^2-b^2-11,$$
   $$50b-b^2=2500-100b+b^2-b^2-11,$$
   $$b^2-150b+2489=0.$$
   Найдём корни:
   $$D=150^2-4\cdot 2489=22500-9956=12544,$$
   $$\sqrt{D}=112.$$
   Тогда
   $$b=\frac{150\pm 112}{2}.$$
   Получаем:
   $$b_1=19,\qquad b_2=131.$$
   Но $$131>50$$, значит это значение не подходит. Тогда
   $$b=19,\qquad a=50-19=31.$$
   Искомые числа: $$31$$ и $$19$$.

Ответ

$$\frac{5}{11}$$; $$31$$ и $$19$$.