Упр.7.8 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Сумма двух натуральных чисел равна 50, а произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.

1. Пусть $a$ и $b$ — числитель и знаменатель дроби соответственно. Тогда по условию:
   $$ \frac{a+1}{b+1}=\frac12,\qquad a^2+b^2=146. $$
   Из первого уравнения:
   $$ 2(a+1)=b+1 \Rightarrow b=2a+1. $$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ a^2+(2a+1)^2=146, $$
   $$ a^2+4a^2+4a+1=146, $$
   $$ 5a^2+4a-145=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=4^2-4\cdot 5\cdot(-145)=16+2900=2916, $$
   $$ \sqrt{D}=54. $$
   Тогда
   $$ a=\frac{-4\pm 54}{10}. $$
   Получаем:
   $$ a_1=5,\qquad a_2=-5{,}8. $$
   Так как числитель дроби должен быть целым числом, берём $a=5$. Тогда
   $$ b=2\cdot 5+1=11. $$
   Исходная дробь:
   $$ \frac{5}{11}. $$
2. Пусть данные натуральные числа — $a$ и $b$. Тогда:
   $$ a+b=50, $$
   а по условию «произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов»:
   $$ ab=a^2-b^2-11. $$
   Из первого уравнения:
   $$ a=50-b. $$
   Подставим во второе:
   $$ b(50-b)=(50-b)^2-b^2-11, $$
   $$ 50b-b^2=2500-100b+b^2-b^2-11, $$
   $$ b^2-150b+2489=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=150^2-4\cdot 2489=22500-9956=12544, $$
   $$ \sqrt{D}=112. $$
   Тогда
   $$ b=\frac{150\pm 112}{2}. $$
   Получаем:
   $$ b_1=19,\qquad b_2=131. $$
   Но $131>50$, значит это значение не подходит. Тогда
   $$ b=19,\qquad a=50-19=31. $$
   Искомые числа: $31$ и $19$.

Ответ

$\frac{5}{11}$; $31$ и $19$.