Упр.7.7 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Разность двух натуральных чисел равна 16, а произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

Обозначим цифру десятков через $$a$$, а цифру единиц через $$b$$. Тогда исходное число равно $$10a+b$$, а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — $$10b+a$$.

По условию:

$$ \begin{cases} a+b=12,\\ 10a+b+36=10b+a. \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем:

$$ 10a+b+36=10b+a $$
$$ 9a-9b+36=0 $$
$$ a-b=-4. $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} a+b=12,\\ a-b=-4. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 2a=8,\quad a=4. $$

Тогда

$$ b=12-4=8. $$

Искомое число:

$$ 10a+b=10\cdot 4+8=48. $$

Проверка: $$48+36=84$$ — число, записанное теми же цифрами в обратном порядке.

Ответ

$$48$$

Ход решения

Пусть $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, причём $$a>b$$. Тогда:

$$ \begin{cases} a-b=16,\\ ab+553=a^2+b^2. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ a=16+b. $$

Подставим во второе:

$$ b(16+b)+553=(16+b)^2+b^2. $$

Раскроем скобки:

$$ 16b+b^2+553=256+32b+b^2+b^2 $$
$$ b^2+16b-297=0. $$

Найдём корни:

$$ D=16^2-4\cdot 1\cdot(-297)=256+1188=1444, $$
$$ \sqrt{D}=38. $$

$$ b=\frac{-16\pm 38}{2}. $$

Получаем:

$$ b_1=-27,\quad b_2=11. $$

Так как числа натуральные, то $$b=11$$. Тогда

$$ a=16+11=27. $$

Ответ

$$27$$ и $$11$$