Упр.7 Вариант 2 Контрольная работа 1 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Дано выражение $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{(2x-3)^2(3x+1)(x-3)}{x(2-x)}$$. Найдите значения переменной, при которых $$f(x)\leq 0$$.

Рассмотрим неравенство

$$\frac{(2x-3)^2(3x+1)(x-3)}{x(2-x)}\le 0.$$

Так как $$2-x=-(x-2),$$ то получаем

$$\frac{(2x-3)^2(3x+1)(x-3)}{x(x-2)}\ge 0.$$

Найдём нули числителя и точки, в которых знаменатель обращается в ноль:

$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,$$

$$3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13,$$

$$x-3=0 \Rightarrow x=3,$$

$$x=0,\quad x=2.$$

Точка $$x=\frac32$$ — двойной корень, поэтому знак выражения при переходе через неё не меняется. Точки $$x=0$$ и $$x=2$$ исключаются из области определения.

Рассмотрим знаки на промежутках, разделённых точками $$-\frac13,\,0,\,\frac32,\,2,\,3.$$ Получаем, что выражение неотрицательно на промежутках

$$(-\infty;-\tfrac13],\quad (0;2),\quad [3;+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;-\tfrac13]\cup(0;2)\cup[3;+\infty).$$