Упр.7.5 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Сумма двух натуральных чисел равна $$50$$, а произведение на $$11$$ меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.
2. Сумма двух чисел равна $$46$$, а сумма их квадратов равна $$1130$$. Найдите эти числа.

1) Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые натуральные числа. Тогда

$$\begin{cases} a+b=50,\\ ab+11=a^2-b^2. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$a$$:

$$a=50-b.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(50-b)b+11=(50-b)^2-b^2.$$

Раскроем скобки:

$$50b-b^2+11=2500-100b+b^2-b^2,$$

$$50b-b^2+11=2500-100b.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$b^2-150b+2489=0.$$

Найдём корни:

$$D=150^2-4\cdot 2489=22500-9956=12544,$$

$$\sqrt{D}=112.$$

Тогда

$$b_1=\frac{150-112}{2}=19,\qquad b_2=\frac{150+112}{2}=131.$$

Если $$b=19$$, то $$a=50-19=31$$. Если $$b=131$$, то $$a=50-131=-81$$, но это не натуральное число. Значит, подходит только пара $$31$$ и $$19$$.

2) Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые числа. Тогда

$$\begin{cases} a+b=46,\\ a^2+b^2=1130. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$a$$:

$$a=46-b.$$

Подставим во второе:

$$(46-b)^2+b^2=1130.$$

Раскроем скобки:

$$2116-92b+b^2+b^2=1130,$$

$$2b^2-92b+986=0.$$

Разделим на $$2$$:

$$b^2-46b+493=0.$$

Найдём корни:

$$D=46^2-4\cdot 493=2116-1972=144,$$

$$\sqrt{D}=12.$$

Тогда

$$b_1=\frac{46-12}{2}=17,\qquad b_2=\frac{46+12}{2}=29.$$

Соответственно, $$a=46-17=29$$ и $$a=46-29=17$$. Получаем числа $$17$$ и $$29$$.

Ответ

1) $$31$$ и $$19$$. 2) $$17$$ и $$29$$.