Упр.7.5 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.

1) Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые натуральные числа. Тогда

$$ \begin{cases} a+b=50,\\ ab+11=a^2-b^2. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $$a$$:

$$a=50-b.$$

Подставим во второе уравнение:

$$ (50-b)b+11=(50-b)^2-b^2. $$

Раскроем скобки:

$$ 50b-b^2+11=2500-100b+b^2-b^2, $$

$$ 50b-b^2+11=2500-100b. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ b^2-150b+2489=0. $$

Найдём корни:

$$ D=150^2-4\cdot 2489=22500-9956=12544, $$

$$ \sqrt{D}=112. $$

Тогда

$$ b_1=\frac{150-112}{2}=19,\qquad b_2=\frac{150+112}{2}=131. $$

Если $$b=19$$, то $$a=50-19=31$$. Если $$b=131$$, то $$a=50-131=-81$$, но это не натуральное число. Значит, подходит только пара $$31$$ и $$19$$.

2) Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые числа. Тогда

$$ \begin{cases} a+b=46,\\ a^2+b^2=1130. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $$a$$:

$$a=46-b.$$

Подставим во второе:

$$ (46-b)^2+b^2=1130. $$

Раскроем скобки:

$$ 2116-92b+b^2+b^2=1130, $$

$$ 2b^2-92b+986=0. $$

Разделим на $$2$$:

$$ b^2-46b+493=0. $$

Найдём корни:

$$ D=46^2-4\cdot 493=2116-1972=144, $$

$$ \sqrt{D}=12. $$

Тогда

$$ b_1=\frac{46-12}{2}=17,\qquad b_2=\frac{46+12}{2}=29. $$

Соответственно, $$a=46-17=29$$ и $$a=46-29=17$$. Получаем числа $$17$$ и $$29$$.

Ответ

1) $$31$$ и $$19$$. 2) $$17$$ и $$29$$.