Упр.7.49 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

В январе 2006 г. на счет в банке была положена некоторая сумма денег. В конце 2006 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Добавив в январе 2007 г. на свой счет еще 18 000 р., вкладчик пришел в банк закрыть счет в декабре 2007 г. и получил 44 000 р. Какая сумма была положена на счет первоначально и сколько процентов в год начисляет банк?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ — первоначально положенная сумма, а $$y$$ — годовая ставка в долях единицы.

Тогда по условию в конце 2006 года проценты составили $$2000$$ руб., значит

$$xy=2000.$$

К январю 2007 года на счёте стало $$x+2000$$ руб. После добавления ещё $$18000$$ руб. получаем $$x+20000$$ руб. К декабрю 2007 года эта сумма увеличилась на $$y$$ долю, и вклад стал равен $$44000$$ руб. Поэтому

$$(x+20000)(1+y)=44000.$$

Подставим $$y=\dfrac{2000}{x}$$:

$$(x+20000)\left(1+\frac{2000}{x}\right)=44000$$
$$x+20000+\frac{2000(x+20000)}{x}=44000$$
$$x+20000+2000+\frac{40000000}{x}=44000$$
$$x+\frac{40000000}{x}=22000$$
$$x^2-22000x+40000000=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=22000^2-4\cdot 40000000=144000000,$$
$$\sqrt{D}=12000.$$

$$x=\frac{22000\pm12000}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=2000,\qquad x_2=20000.$$

Тогда

$$y_1=\frac{2000}{2000}=1=100\%,\qquad y_2=\frac{2000}{20000}=0{,}1=10\%.$$

Так как ставка по вкладу не может быть равна $$100\%$$ в год, остаётся

$$x=20000,\qquad y=10\%.$$