Упр.7.48 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: По двум сторонам прямого угла по направлению к его вершине движутся два тела. В начальный момент тело А отстояло от вершины на 60 м, а тело В — на 80 м. Через 3 с расстояние между А и В стало равным 70 м, а еще через 2 с — 50 м. Найдите скорости движения каждого тела. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 7-48 95

Пусть $$v_A$$ и $$v_B$$ — скорости тел $$A$$ и $$B$$ соответственно, м/с.

Так как тела движутся к вершине прямого угла, то через $$t$$ секунд их расстояния до вершины равны $$60- t v_A$$ и $$80- t v_B$$. По теореме Пифагора расстояние между телами удовлетворяет формуле:

$$S^2=(60-t v_A)^2+(80-t v_B)^2.$$

По условию через 3 с расстояние равно 70 м, а через 5 с — 50 м. Получаем систему:

$$ \begin{cases} (60-3v_A)^2+(80-3v_B)^2=70^2,\\ (60-5v_A)^2+(80-5v_B)^2=50^2. \end{cases} $$

Раскроем скобки:

$$ \begin{cases} 3600-360v_A+9v_A^2+6400-480v_B+9v_B^2=4900,\\ 3600-600v_A+25v_A^2+6400-800v_B+25v_B^2=2500. \end{cases} $$

Упростим:

$$ \begin{cases} 9v_A^2+9v_B^2-360v_A-480v_B+5100=0,\\ 25v_A^2+25v_B^2-600v_A-800v_B+7500=0. \end{cases} $$

Разделим первое уравнение на $$9$$, второе на $$25$$:

$$ \begin{cases} v_A^2+v_B^2-40v_A-\dfrac{160}{3}v_B+\dfrac{1700}{3}=0,\\ v_A^2+v_B^2-24v_A-32v_B+300=0. \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$ 16v_A+\dfrac{64}{3}v_B-\dfrac{800}{3}=0. $$

Умножим на $$3$$:

$$48v_A+64v_B-800=0,$$

$$3v_A+4v_B=50.$$

Тогда

$$v_A=\dfrac{50-4v_B}{3}.$$

Подставим во второе уравнение системы:

$$ \left(\dfrac{50-4v_B}{3}\right)^2+v_B^2-24\cdot\dfrac{50-4v_B}{3}-32v_B+300=0. $$

После преобразований получаем:

$$v_B^2-16v_B+64=0,$$

$$\left(v_B-8\right)^2=0,$$

откуда $$v_B=8.$$

Тогда

$$v_A=\dfrac{50-4\cdot 8}{3}=6.$$

Ответ

$$6\ \text{м/с}$$ и $$8\ \text{м/с}$$.