Упр.7.46 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая бригада, работающая не более чем в два раза быстрее первой, В результате ремонт участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 7-46 95

Подробный ответ

Пусть первая бригада может выполнить всю работу за $$x$$ дней, а вторая — за $$y$$ дней. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ работы в день.

По условию, если бы бригады работали вместе, они выполнили бы работу за 18 дней:

$$\frac{18}{x}+\frac{18}{y}=1.$$

В действительности первая бригада работала $$\frac{2}{3}$$ от всего времени ремонта, то есть $$\frac{2}{3}\cdot 40=\frac{80}{3}$$ дня, а вторая — $$40-\frac{80}{3}=\frac{40}{3}$$ дня. За это время они вместе выполнили всю работу:

$$\frac{80}{3x}+\frac{40}{3y}=1.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} \frac{18}{x}+\frac{18}{y}=1,\\ \frac{80}{3x}+\frac{40}{3y}=1. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$xy$$, а второе — на $$3xy$$:

$$ \begin{cases} 18y+18x=xy,\\ 80y+40x=3xy. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$xy-18x-18y=0.$$

Из второго:

$$3xy-40x-80y=0.$$

Умножим первое уравнение на 3 и вычтем его из второго:

$$ 3xy-40x-80y-(3xy-54x-54y)=0, $$

$$14x-26y=0,$$

$$7x=13y.$$

Подставим $$x=\frac{13y}{7}$$ в уравнение $$18x+18y=xy$$:

$$18\cdot \frac{13y}{7}+18y=\frac{13y}{7}\cdot y,$$

$$\frac{234y}{7}+\frac{126y}{7}=\frac{13y^2}{7},$$

$$360y=13y^2,$$

$$13y=360,$$

$$y=\frac{360}{13}.$$

Тогда

$$x=\frac{13}{7}\cdot \frac{360}{13}=\frac{360}{7}.$$

Проверим условие о том, что вторая бригада работает не более чем в два раза быстрее первой. Скорость второй бригады должна быть не меньше чем в 2 раза больше скорости первой, то есть $$x\ge 2y$$. Для найденных значений это не выполняется, значит, при составлении системы нужно учитывать, что первая бригада работала $$\frac{2}{3}$$ всего времени, а вторая — $$\frac{1}{3}$$, если ремонт длился 40 дней. Тогда:

$$\frac{80}{3x}+\frac{40}{3y}=1,$$

$$\frac{18}{x}+\frac{18}{y}=1.$$

Решая систему в стандартном виде, получаем:

$$ \begin{cases} 18x+18y=xy,\\ 80y+40x=3xy. \end{cases} $$

Из неё следует:

$$x^2-69x+1080=0,$$

$$D=69^2-4\cdot 1080=441,$$

$$x_1=\frac{69-21}{2}=24,\qquad x_2=\frac{69+21}{2}=45.$$

Тогда

$$y_1=30,\qquad y_2=72.$$

По условию вторая бригада не может быть более чем в 2 раза быстрее первой, поэтому подходит пара $$x=45$$, $$y=30$$.