Упр.7.45 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Мастер, работая с учеником, обрабатывает деталь за $$2\ \text{ч}\ 24\ \text{мин}$$. Если мастер будет работать $$2\ \text{ч}$$, а ученик — $$1\ \text{ч}$$, то будет выполнено $$\frac{2}{3}$$ всей работы. Сколько времени потребуется мастеру и ученику в отдельности на обработку детали?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ — время, за которое ученик обработает деталь один, а $$y$$ — время, за которое это сделает мастер один. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ детали в час.

По условию, вместе они выполняют работу за $$2\text{ ч }24\text{ мин}=2{,}4\text{ ч}$$, значит:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2{,}4}.$$

Если мастер работает $$2$$ ч, а ученик $$1$$ ч, то выполняется $$\frac{2}{3}$$ всей работы:

$$\frac{2}{y}+\frac{1}{x}=\frac{2}{3}.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2{,}4},\\ \frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{2}{3}. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$\frac{1}{y}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2{,}4}=\frac{2}{3}-\frac{5}{12}=\frac{8}{12}-\frac{5}{12}=\frac{1}{4}.$$

Тогда $$y=4$$.

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2{,}4}=\frac{5}{12},$$

$$\frac{1}{x}=\frac{5}{12}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}-\frac{3}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$$