Упр.7.37 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии $$70\text{ км}$$ от пункта А, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист со скоростью движения $$50\text{ км/ч}$$. Мотоциклист догнал велосипедиста в $$20\text{ км}$$ от пункта А. Прибыв в В, мотоциклист через $$36\text{ мин}$$ выехал обратно и встретился с велосипедистом спустя $$3\text{ ч }20\text{ мин}$$ после выезда велосипедиста из А. Найдите скорость велосипедиста.

Подробный ответ

Пусть $$v$$ — скорость велосипедиста, $$t$$ — время от выезда велосипедиста до выезда мотоциклиста.

Тогда до встречи в пункте, находящемся в $$20$$ км от $$A$$, велосипедист ехал $$\frac{20}{v}$$ ч, а мотоциклист — $$\frac{20}{50}$$ ч. Получаем:

$$\frac{20}{v}=\frac{20}{50}+t.$$

После прибытия в пункт $$B$$ мотоциклист через $$36$$ мин $$= \frac{3}{5}$$ ч поехал обратно. К моменту встречи прошло $$3$$ ч $$20$$ мин $$= \frac{10}{3}$$ ч от выезда велосипедиста. Значит, велосипедист ехал до встречи $$\frac{10}{3}$$ ч, а мотоциклист за это время проехал путь

$$70-\left(\frac{10}{3}-\frac{3}{5}-t\right)\cdot 50.$$

Составим уравнение по времени движения мотоциклиста:

$$t+\frac{70}{50}+\frac{3}{5}+\frac{70-\left(\frac{10}{3}-t-\frac{3}{5}\right)v}{50}=\frac{10}{3}.$$

Упростим систему:

$$\begin{cases} \frac{20}{v}=\frac{20}{50}+t,\\ t+\frac{70}{50}+\frac{3}{5}+\frac{70-\left(\frac{10}{3}-t-\frac{3}{5}\right)v}{50}=\frac{10}{3}. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$t=\frac{20}{v}-\frac{2}{5}.$$

Подставим во второе и приведём подобные:

$$15\left(\frac{20}{v}-\frac{2}{5}\right)-v+1=0.$$

Умножим на $$v$$:

$$300-6v-v^2+v=0,$$

$$v^2+5v-300=0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2+4\cdot 300=1225=35^2,$$

$$v_{1,2}=\frac{-5\pm 35}{2}.$$

Получаем:

$$v_1=15,\qquad v_2=-20.$$