Упр.7.32 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится $$7$$ и в остатке $$6$$. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится $$3$$, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число.

Пусть $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц. Тогда искомое число равно $$10a+b$$.

По условию, при делении на сумму цифр получается частное 7 и остаток 6:

$$10a+b=7(a+b)+6.$$

При делении на произведение цифр получается частное 3 и остаток, равный сумме цифр:

$$10a+b=3ab+(a+b).$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 10a+b=7(a+b)+6,\\ 10a+b=3ab+(a+b). \end{cases}$$

Упростим:

$$\begin{cases} 3a-6b=6,\\ 9a=3ab. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$a-2b=2.$$

Из второго:

$$3a=ab,$$

так как $$a\neq 0$$, то

$$b=3.$$

Тогда

$$a-2\cdot 3=2,$$

откуда

$$a=8.$$

Искомое число:

$$10a+b=10\cdot 8+3=83.$$

Ответ

$$83$$