Упр.7.25 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Аквариум объемом $$54\ \text{м}^3$$ заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает $$3\ \text{ч}$$, а второй — $$2\ \text{ч}$$. Какова пропускная способность первого крана, если $$1\ \text{м}^3$$ он заполняет на $$1\ \text{мин}$$ медленнее, чем второй?

Пусть $$x$$ — пропускная способность первого крана, $$y$$ — пропускная способность второго крана, м³/ч.

Тогда время заполнения 1 м³ первым краном равно $$\frac{1}{x}$$ ч, а вторым — $$\frac{1}{y}$$ ч. По условию первый кран заполняет 1 м³ на 1 минуту медленнее, то есть на $$\frac{1}{60}$$ ч медленнее:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{60}.$$

За всё время работы оба крана заполнили аквариум объёмом 54 м³:

$$3x+2y=54.$$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{60}=\frac{1}{y}$$

$$\frac{60-x}{60x}=\frac{1}{y}$$

$$y=\frac{60x}{60-x}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$3x+2\cdot \frac{60x}{60-x}=54.$$

Умножим на $$60-x$$:

$$3x(60-x)+120x=54(60-x).$$

$$180x-3x^2+120x=3240-54x.$$

$$3x^2-354x+3240=0.$$

Разделим на 3:

$$x^2-118x+1080=0.$$

Найдём корни:

$$D=118^2-4\cdot 1080=9604=98^2,$$

$$x=\frac{118\pm 98}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=10,\qquad x_2=108.$$

Проверим: при $$x=108$$ из формулы $$y=\frac{60x}{60-x}$$ получается отрицательное значение, что невозможно. Значит, подходит только $$x=10$$.

Тогда пропускная способность первого крана равна $$10$$ м³/ч.

Ответ

$$10\ \text{м}^3/\text{ч}$$