Упр.7.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?

Пусть $$x$$ и $$y$$ — время работы первого и второго экскаваторов соответственно. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$, а вместе они выполняют работу за $$3\text{ ч }45\text{ мин}=\frac{15}{4}\text{ ч}$$.

Составим систему:

$$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{15},\\ x=y-4. \end{cases}$$

Подставим $$x=y-4$$ в первое уравнение:

$$\frac{1}{y-4}+\frac{1}{y}=\frac{4}{15}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{y+(y-4)}{y(y-4)}=\frac{4}{15}$$

$$\frac{2y-4}{y(y-4)}=\frac{4}{15}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$15(2y-4)=4y(y-4)$$

$$30y-60=4y^2-16y$$

$$4y^2-46y+60=0$$

$$2y^2-23y+30=0.$$

Найдём корни:

$$D=23^2-4\cdot 2\cdot 30=529-240=289,$$

$$y=\frac{23\pm 17}{4}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{23-17}{4}=\frac{3}{2}, \qquad y_2=\frac{23+17}{4}=10.$$

Значение $$y=\frac{3}{2}$$ не подходит, так как тогда $$x=y-4<0$$. Значит,

$$y=10,\qquad x=10-4=6.$$

Ответ

$$6\text{ ч}$$ и $$10\text{ ч}$$.