Упр.7.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

В колледже для проведения письменного экзамена по математике было заготовлено 400 листов бумаги. Но на экзаменах по предыдущим предметам отсеялось 20 человек, поэтому каждому абитуриенту смогли дать на 1 лист бумаги больше, чем предполагалось. Сколько человек сдавало экзамен по математике?

Подробный ответ

Пусть $$v$$ — скорость течения реки, $$u$$ — скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость по течению равна $$u+v$$, а против течения — $$u-v$$.
По условию турист проплыл $$20$$ км туда и обратно за $$7$$ ч, значит
$$\frac{20}{u+v}+\frac{20}{u-v}=7.$$
Также известно, что $$2$$ км против течения он проплывает за то же время, что и $$5$$ км по течению:
$$\frac{2}{u-v}=\frac{5}{u+v}.$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} \frac{20}{u+v}+\frac{20}{u-v}=7,\\ \frac{2}{u-v}=\frac{5}{u+v}. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$2(u+v)=5(u-v),$$
$$2u+2v=5u-5v,$$
$$7v=3u,$$
$$u=\frac{7v}{3}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ \frac{20}{\frac{7v}{3}+v}+\frac{20}{\frac{7v}{3}-v}=7. $$
Упростим знаменатели:
$$ \frac{20}{\frac{10v}{3}}+\frac{20}{\frac{4v}{3}}=7, $$
$$ \frac{6}{v}+\frac{15}{v}=7, $$
$$ \frac{21}{v}=7. $$
Отсюда
$$v=3.$$
Значит, скорость течения реки равна $$3$$ км/ч.
Пусть $$x$$ — число абитуриентов, сдававших экзамен по математике, а $$y$$ — число листов бумаги, которое планировали дать каждому. Тогда
$$xy=400,$$
а после того как отсеялось $$20$$ человек, каждому досталось на $$1$$ лист больше:
$$ (x-20)(y+1)=400.$$
Из первого уравнения $$x=\frac{400}{y}$$. Подставим во второе:
$$ \left(\frac{400}{y}-20\right)(y+1)=400. $$
Раскроем скобки:
$$ 400+\frac{400}{y}-20y-20=400, $$
$$ \frac{400}{y}-20y-20=0. $$
Умножим на $$y$$:
$$ 400-20y^2-20y=0, $$
$$ y^2+y-20=0. $$
Тогда
$$ (y+5)(y-4)=0, $$
$$y=4$$ или $$y=-5.$$
Так как число листов не может быть отрицательным, берём $$y=4$$. Тогда
$$x=\frac{400}{4}=100.$$
Фактически экзамен сдавало
$$100-20=80$$ человек.