Упр.7.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Пусть $$v$$ — скорость течения реки, $$u$$ — скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость по течению равна $$u+v$$, а против течения — $$u-v$$.

   По условию турист проплыл $$20$$ км туда и обратно за $$7$$ ч, значит

   $$\frac{20}{u+v}+\frac{20}{u-v}=7.$$

   Также известно, что $$2$$ км против течения он проплывает за то же время, что и $$5$$ км по течению:

   $$\frac{2}{u-v}=\frac{5}{u+v}.$$

   Решим систему:

   $$\begin{cases} \frac{20}{u+v}+\frac{20}{u-v}=7,\\ \frac{2}{u-v}=\frac{5}{u+v}. \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$2(u+v)=5(u-v),$$

   $$2u+2v=5u-5v,$$

   $$7v=3u,$$

   $$u=\frac{7v}{3}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{20}{\frac{7v}{3}+v}+\frac{20}{\frac{7v}{3}-v}=7.$$

   Упростим знаменатели:

   $$\frac{20}{\frac{10v}{3}}+\frac{20}{\frac{4v}{3}}=7,$$

   $$\frac{6}{v}+\frac{15}{v}=7,$$

   $$\frac{21}{v}=7.$$

   Отсюда

   $$v=3.$$

   Значит, скорость течения реки равна $$3$$ км/ч.

2. Пусть $$x$$ — число абитуриентов, сдававших экзамен по математике, а $$y$$ — число листов бумаги, которое планировали дать каждому. Тогда

   $$xy=400,$$

   а после того как отсеялось $$20$$ человек, каждому досталось на $$1$$ лист больше:

   $$(x-20)(y+1)=400.$$

   Из первого уравнения $$x=\frac{400}{y}$$. Подставим во второе:

   $$\left(\frac{400}{y}-20\right)(y+1)=400.$$

   Раскроем скобки:

   $$400+\frac{400}{y}-20y-20=400,$$

   $$\frac{400}{y}-20y-20=0.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$400-20y^2-20y=0,$$

   $$y^2+y-20=0.$$

   Тогда

   $$(y+5)(y-4)=0,$$

   $$y=4$$ или $$y=-5.$$

   Так как число листов не может быть отрицательным, берём $$y=4$$. Тогда

   $$x=\frac{400}{4}=100.$$

   Фактически экзамен сдавало

   $$100-20=80$$ человек.

Ответ

$$3\text{ км/ч};\ 80\text{ человек}.$$