Упр.7.2 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 ч, а против течения за 2 ч 48 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Подробный ответ

1) Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые числа. Тогда

$$ \begin{cases} a+b=46,\\ a^2+b^2=1130. \end{cases} $$

Выразим $$a$$ через $$b$$:

$$ a=46-b. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ (46-b)^2+b^2=1130 $$
$$ 2116-92b+b^2+b^2=1130 $$
$$ 2b^2-92b+986=0 $$
$$ b^2-46b+493=0. $$

Найдём дискриминант:

$$ D=46^2-4\cdot 493=2116-1972=144. $$

$$ b_{1,2}=\frac{46\pm 12}{2}. $$

Тогда

$$ b_1=17,\quad b_2=29. $$

Соответственно,

$$ a_1=46-17=29,\quad a_2=46-29=17. $$

Итак, искомые числа: $$17$$ и $$29$$.

2) Пусть $$v_л$$ — собственная скорость лодки, $$v_т$$ — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна $$v_л+v_т$$, а против течения — $$v_л-v_т$$.

Составим систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{14}{v_л+v_т}=2,\\[6pt] \dfrac{14}{v_л-v_т}=2{,}8. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ v_л+v_т=7. $$

Из второго уравнения:

$$ v_л-v_т=5. $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} v_л+v_т=7,\\ v_л-v_т=5. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 2v_л=12,\quad v_л=6. $$

Тогда

$$ v_т=7-6=1. $$