Упр.7.2 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Сумма двух чисел равна $$46$$, а сумма их квадратов равна $$1130$$. Найдите эти числа.
Расстояние между двумя пунктами по реке равно $$14\ \text{км}$$. Лодка проходит этот путь по течению за $$2\ \text{ч}$$, а против течения за $$2\ \text{ч}\ 48\ \text{мин}$$. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Подробный ответ

1) Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые числа. Тогда

$$\begin{cases} a+b=46,\\ a^2+b^2=1130. \end{cases}$$

Выразим $$a$$ через $$b$$:

$$a=46-b.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(46-b)^2+b^2=1130$$
$$2116-92b+b^2+b^2=1130$$
$$2b^2-92b+986=0$$
$$b^2-46b+493=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=46^2-4\cdot 493=2116-1972=144.$$

$$b_{1,2}=\frac{46\pm 12}{2}.$$

Тогда

$$b_1=17,\quad b_2=29.$$

Соответственно,

$$a_1=46-17=29,\quad a_2=46-29=17.$$

Итак, искомые числа: $$17$$ и $$29$$.

2) Пусть $$v_л$$ — собственная скорость лодки, $$v_т$$ — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна $$v_л+v_т$$, а против течения — $$v_л-v_т$$.

Составим систему:

$$\begin{cases} \dfrac{14}{v_л+v_т}=2,\\[6pt] \dfrac{14}{v_л-v_т}=2{,}8. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$v_л+v_т=7.$$

Из второго уравнения:

$$v_л-v_т=5.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} v_л+v_т=7,\\ v_л-v_т=5. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2v_л=12,\quad v_л=6.$$

Тогда

$$v_т=7-6=1.$$