Упр.7.19 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а по течению 9 км, при этом по течению она шла 45 мин, а против течения — 1 ч 15 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
2. В красном зале кинотеатра 320 мест, а в синем — 360. В красном зале на 2 ряда больше, чем в синем, но в каждом ряду на 4 места меньше, чем в каждом ряду синего зала. Сколько рядов в каждом зале кинотеатра?

1. Обозначим через $$v$$ собственную скорость лодки, а через $$u$$ скорость течения реки.

   Тогда скорость лодки по течению равна $$v+u$$, а против течения — $$v-u$$.

   Переведём время в часы:

   $$45\text{ мин}=\frac{3}{4}\text{ ч}, \qquad 1\text{ ч }15\text{ мин}=\frac{5}{4}\text{ ч}.$$

   Составим систему по формуле $$t=\frac{s}{v}$$:

   $$\begin{cases} \dfrac{9}{v+u}=\dfrac{3}{4},\\[6pt] \dfrac{10}{v-u}=\dfrac{5}{4}. \end{cases}$$

   Из первого уравнения получаем:

   $$36=3v+3u \Rightarrow 12=v+u.$$

   Из второго уравнения:

   $$40=5v-5u \Rightarrow 8=v-u.$$

   Решим систему:

   $$\begin{cases} v+u=12,\\ v-u=8. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2v=20 \Rightarrow v=10.$$

   Тогда

   $$u=12-10=2.$$

2. Пусть $$x$$ — число мест в одном ряду красного зала, а $$y$$ — число мест в одном ряду синего зала.

   По условию:

   $$\begin{cases} x=y+4,\\[4pt] \dfrac{320}{x}=\dfrac{360}{y}-2. \end{cases}$$

   Подставим $$x=y+4$$ во второе уравнение:

   $$\frac{320}{y+4}=\frac{360}{y}-2.$$

   Умножим на $$y(y+4)$$:

   $$320y=360(y+4)-2y(y+4).$$

   Раскроем скобки:

   $$320y=360y+1440-2y^2-8y.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$2y^2-32y-1440=0.$$

   Разделим на $$2$$:

   $$y^2-16y-720=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=16^2+4\cdot 720=3136,\qquad \sqrt{D}=56.$$

   $$y=\frac{16\pm 56}{2}.$$

   Получаем:

   $$y_1=36,\qquad y_2=-20.$$

   Отрицательное значение не подходит, значит $$y=36$$.

   Тогда

   $$x=y+4=40.$$

Ответ

1) $$10$$ км/ч и $$2$$ км/ч.

2) В красном зале $$40$$ рядов, в синем — $$36$$ рядов.