Упр.7.17 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Расстояние между двумя поселками, равное $$24\ \text{км}$$, первый пешеход преодолел на $$2\ \text{ч}$$ быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на $$2\ \text{км/ч}$$, а второго на $$1\ \text{км/ч}$$, то и в этом случае весь путь первый преодолеет на $$2\ \text{ч}$$ быстрее второго. Найдите первоначальные скорости пешеходов.

Подробный ответ

Пусть $$v_1$$ и $$v_2$$ — скорости первого и второго пешеходов соответственно, км/ч. Тогда время движения равно $$\frac{24}{v_1}$$ и $$\frac{24}{v_2}$$.

По условию первый пешеход идёт на 2 часа быстрее второго:

$$\frac{24}{v_1}=\frac{24}{v_2}-2.$$

Если скорость первого увеличить на 2 км/ч, а второго — на 1 км/ч, то получим:

$$\frac{24}{v_1+2}=\frac{24}{v_2+1}-2.$$

Преобразуем систему:

$$\begin{cases} 24v_2=(24-2v_2)v_1,\\ 24(v_2+1)=(v_1+2)(22-2v_2). \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$24v_2=24v_1-2v_1v_2$$
$$24v_2+2v_1v_2-24v_1=0$$
$$2v_1v_2-24v_1+24v_2=0$$
$$v_1=10-2v_2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$24(v_2+1)=(10-2v_2+2)(22-2v_2)$$
$$24v_2+24=(12-2v_2)(22-2v_2)$$
$$24v_2+24=264-68v_2+4v_2^2$$
$$4v_2^2-92v_2+240=0$$
$$v_2^2-23v_2+60=0$$
$$(v_2-3)(v_2-20)=0.$$

Отсюда $$v_2=3$$ или $$v_2=20$$.

Если $$v_2=3$$, то $$v_1=10-2\cdot 3=4$$.

Если $$v_2=20$$, то $$v_1=10-2\cdot 20=-30$$, что не подходит.

Значит, первоначальные скорости пешеходов: $$4$$ км/ч и $$3$$ км/ч.