Упр.7.12 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

1) Прямоугольный треугольник.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты треугольника. Тогда по условию

$$\frac{ab}{2}=210,\qquad a^2+b^2=37^2.$$

Из первого уравнения получаем

$$ab=420.$$

Тогда

$$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2=37^2+2\cdot 420=1369+840=2209,$$

откуда

$$a+b=47.$$

Периметр треугольника:

$$P=a+b+37=47+37=84\text{ см}.$$

2) Прямоугольник.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — стороны прямоугольника. Тогда

$$a+b=14,\qquad a^2+b^2=10^2=100.$$

Используем формулу:

$$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2.$$

Подставим:

$$14^2=100+2ab,$$

$$196=100+2ab,$$

$$2ab=96,$$

$$ab=48.$$

Теперь найдём стороны как корни уравнения

$$t^2-14t+48=0.$$

$$D=14^2-4\cdot 48=196-192=4,$$

$$t=\frac{14\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=8,\qquad t_2=6.$$

Значит, стороны прямоугольника равны $$6$$ см и $$8$$ см.

Ответ

1) $$84\text{ см}$$; 2) $$6\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$.