Упр.7.11 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить по 1, то дробь станет равна 1/2, а если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 146. Найдите исходную дробь.

1. Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты прямоугольного треугольника, причём $$a>b$$. Тогда
   $$a-b=23,$$
   $$a^2+b^2=37^2=1369.$$
   Из первого уравнения получаем $$a=23+b$$. Подставим во второе:
   $$ (23+b)^2+b^2=1369 $$
   $$ 529+46b+b^2+b^2=1369 $$
   $$ 2b^2+46b-840=0 $$
   $$ b^2+23b-420=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=23^2+4\cdot 420=529+1680=2209=47^2, $$
   $$ b=\frac{-23\pm 47}{2}. $$
   Получаем $$b_1=-35$$ и $$b_2=12$$. Так как катет не может быть отрицательным, то $$b=12$$, тогда
   $$a=23+12=35.$$
   Периметр треугольника:
   $$ P=a+b+37=35+12+37=84. $$
2. Пусть $$a$$ — числитель, $$b$$ — знаменатель дроби. Тогда
   $$ \frac{a+1}{b+1}=\frac12, $$
   $$ a^2+b^2=146. $$
   Из первого уравнения:
   $$ 2a+2=b+1,\quad b=2a+1. $$
   Подставим во второе:
   $$ a^2+(2a+1)^2=146 $$
   $$ a^2+4a^2+4a+1=146 $$
   $$ 5a^2+4a-145=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=4^2-4\cdot 5\cdot(-145)=16+2900=2916=54^2, $$
   $$ a=\frac{-4\pm 54}{10}. $$
   Получаем $$a_1=-5{,}8$$ и $$a_2=5$$. Так как числитель должен быть целым положительным числом, то $$a=5$$. Тогда
   $$ b=2\cdot 5+1=11. $$
   Исходная дробь:
   $$ \frac{5}{11}. $$

Ответ

1) $$84\text{ дм}$$; 2) $$\frac{5}{11}$$.