Упр.6.9 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) система
x2y2+xy=2,
2x+y=3;
б) система
3(x-y) — (x-y)2=-2,
2x+7y=-5;
в) система
5*x/y + (x/y)2=14,
5x+3y=13;
г) система
4(x+y)2- 7(x+y)=15,
5x-2y=1.

1. а) Пусть $$t=xy$$. Тогда из первого уравнения получаем

   $$t^2+t-2=0.$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$t_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad t_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

   1) Если $$xy=-2,$$ то из $$2x+y=3$$ имеем $$y=3-2x.$$ Тогда

   $$x(3-2x)=-2,$$

   $$2x^2-3x-2=0.$$

   $$D=9+16=25,$$

   $$x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{3+5}{4}=2.$$

   Тогда

   $$y_1=3-2\cdot\left(-\frac12\right)=4,\qquad y_2=3-2\cdot 2=-1.$$

   2) Если $$xy=1,$$ то из $$2x+y=3$$ имеем $$y=3-2x.$$ Тогда

   $$x(3-2x)=1,$$

   $$2x^2-3x+1=0.$$

   $$D=9-8=1,$$

   $$x_3=\frac{3+1}{4}=1,\qquad x_4=\frac{3-1}{4}=\frac12.$$

   Тогда

   $$y_3=3-2\cdot 1=1,\qquad y_4=3-2\cdot\frac12=2.$$

   Следовательно, решения системы: $$\left(-\frac12;4\right),\ (2;-1),\ (1;1),\ \left(\frac12;2\right).$$

2. б) Пусть $$t=x-y.$$ Тогда

   $$3t-2t^2=-2,$$

   $$2t^2-3t-2=0.$$

   $$D=9+16=25,$$

   $$t_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{3+5}{4}=2.$$

   1) Если $$x-y=-\frac12,$$ то $$x=y-\frac12.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$2\left(y-\frac12\right)+7y=-5,$$

   $$9y=-4,\qquad y=-\frac49,$$

   $$x=-\frac12-\frac49=-\frac{17}{18}.$$

   2) Если $$x-y=2,$$ то $$x=y+2.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$2(y+2)+7y=-5,$$

   $$9y=-9,\qquad y=-1,$$

   $$x=1.$$

   Следовательно, решения системы: $$\left(-\frac{17}{18};-\frac49\right),\ (1;-1).$$

3. в) Пусть $$t=\frac{x}{y}$$, тогда первое уравнение принимает вид

   $$t^2+5t-14=0.$$

   $$D=25+56=81,$$

   $$t_1=\frac{-5-9}{2}=-7,\qquad t_2=\frac{-5+9}{2}=2.$$

   1) Если $$\frac{x}{y}=-7,$$ то $$x=-7y.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$5(-7y)+3y=13,$$

   $$-32y=13,\qquad y=-\frac{13}{32},$$

   $$x=\frac{91}{32}.$$

   2) Если $$\frac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y.$$ Тогда

   $$5(2y)+3y=13,$$

   $$13y=13,\qquad y=1,\qquad x=2.$$

   Следовательно, решения системы: $$\left(\frac{91}{32};-\frac{13}{32}\right),\ (2;1).$$

4. г) Пусть $$t=x+y.$$ Тогда

   $$4t^2-7t-15=0.$$

   $$D=49+240=289,$$

   $$t_1=\frac{7-17}{8}=-\frac54,\qquad t_2=\frac{7+17}{8}=3.$$

   1) Если $$x+y=-\frac54,$$ то $$x=-\frac54-y.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$5\left(-\frac54-y\right)-2y=1,$$

   $$-\frac{25}{4}-7y=1,$$

   $$-7y=\frac{29}{4},\qquad y=-\frac{29}{28},$$

   $$x=-\frac54+\frac{29}{28}=-\frac{4}{14}=-\frac27.$$

   2) Если $$x+y=3,$$ то $$x=3-y.$$ Тогда

   $$5(3-y)-2y=1,$$

   $$15-7y=1,$$

   $$-7y=-14,\qquad y=2,\qquad x=1.$$

   Следовательно, решения системы: $$\left(-\frac27;-\frac{29}{28}\right),\ (1;2).$$

Ответ

а) $$\left(-\frac12;4\right),\ (2;-1),\ (1;1),\ \left(\frac12;2\right);$$ б) $$\left(-\frac{17}{18};-\frac49\right),\ (1;-1);$$ в) $$\left(\frac{91}{32};-\frac{13}{32}\right),\ (2;1);$$ г) $$\left(-\frac27;-\frac{29}{28}\right),\ (1;2).$$