Упр.6.5 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) система
1/x+1/y=5/6,
2y-x=1;
б) система
5/x-12/xy+4/y=2,
x-y-3=0;
в) система
1/y-1/x=1/3,
x-2y=2;
г) система
4/x-12/xy + 3/y=1,
x-y=1.
а)
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}, \qquad 2y-x=1$$
Преобразуем первое уравнение:
$$\frac{x+y}{xy}=\frac{5}{6} \Rightarrow 6x+6y=5xy.$$
Из второго уравнения:
$$x=2y-1.$$
Подставим:
$$6(2y-1)+6y=5y(2y-1).$$
$$12y-6+6y=10y^2-5y.$$
$$10y^2-23y+6=0.$$
$$D=23^2-4\cdot 10\cdot 6=529-240=289.$$
$$y_{1,2}=\frac{23\pm 17}{20}.$$
Тогда
$$y_1=\frac{6}{20}=0{,}3,\qquad y_2=\frac{40}{20}=2.$$
Находим $x$:
$$x_1=2\cdot 0{,}3-1=-0{,}4,\qquad x_2=2\cdot 2-1=3.$$Ответ: $(-0{,}4;\,0{,}3)$ и $(3;\,2)$.
б)
$$\frac{5}{x}-\frac{12}{xy}+\frac{4}{y}=2, \qquad x-y-3=0$$
Из второго уравнения:
$$x=y+3.$$
Приведём первое уравнение к общему знаменателю:
$$\frac{5y-12+4x}{xy}=2.$$
Подставим $x=y+3$:
$$\frac{5y-12+4(y+3)}{y(y+3)}=2.$$
$$\frac{9y}{y(y+3)}=2.$$
$$9y=2y(y+3).$$
$$9y=2y^2+6y.$$
$$2y^2-3y=0.$$
$$y(2y-3)=0.$$
Отсюда
$$y_1=0,\qquad y_2=\frac{3}{2}.$$
Значение $y_1=0$ не подходит, так как знаменатель не должен обращаться в нуль. Тогда
$$y=\frac{3}{2},\qquad x=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}.$$Ответ: $\left(\frac{9}{2};\,\frac{3}{2}\right)$.
в)
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{3}, \qquad x-2y=2$$
Преобразуем первое уравнение:
$$\frac{x-y}{xy}=\frac{1}{3} \Rightarrow 3(x-y)=xy.$$
Из второго уравнения:
$$x=2+2y.$$
Подставим:
$$3(2+2y-y)=y(2+2y).$$
$$6+3y=2y+2y^2.$$
$$2y^2-y-6=0.$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)=49.$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}.$$
Тогда
$$y_1=-\frac{3}{2},\qquad y_2=2.$$
Находим $x$:
$$x_1=2+2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1,\qquad x_2=2+2\cdot 2=6.$$Ответ: $(-1;\,-1{,}5)$ и $(6;\,2)$.
г)
$$\frac{4}{x}-\frac{12}{xy}+\frac{3}{y}=1, \qquad x-y=1$$
Из второго уравнения:
$$x=1+y.$$
Первое уравнение приводим к общему знаменателю:
$$\frac{4y-12+3x}{xy}=1 \Rightarrow 4y-12+3x=xy.$$
Подставим $x=1+y$:
$$4y-12+3(1+y)=y(1+y).$$
$$4y-12+3+3y=y+y^2.$$
$$y^2-6y+9=0.$$
$$\left(y-3\right)^2=0,$$
значит
$$y=3,\qquad x=1+3=4.$$Ответ: $(4;\,3)$.
