Упр.6.4 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. а) Решите систему:
   $$\begin{cases} x^2+xy-y^2=11,\\ x-2y=1; \end{cases}$$
   б) Решите систему:
   $$\begin{cases} xy+y^2+x-3y=15,\\ x+y=5; \end{cases}$$
   в) Решите систему:
   $$\begin{cases} x^2+xy-x-y=2,\\ x-y=2; \end{cases}$$
   г) Решите систему:
   $$\begin{cases} x^2+y^2+3xy=-1,\\ x+2y=0. \end{cases}$$

1. а) Из второго уравнения выразим $$x$$:

   $$x-2y=1 \Rightarrow x=1+2y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$(1+2y)^2+y(1+2y)-y^2=11$$

   $$1+4y+4y^2+y+2y^2-y^2=11$$

   $$5y^2+5y-10=0$$

   $$y^2+y-2=0$$

   $$(y+2)(y-1)=0$$

   Отсюда $$y=-2$$ или $$y=1$$.

   Если $$y=-2$$, то $$x=1+2\cdot(-2)=-3$$.

   Если $$y=1$$, то $$x=1+2\cdot1=3$$.

2. б) Из второго уравнения выразим $$x$$:

   $$x+y=5 \Rightarrow x=5-y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$y(5-y)+y^2+(5-y)-3y=15$$

   $$5y-y^2+y^2+5-y-3y=15$$

   $$y+5=15$$

   $$y=10$$

   Тогда $$x=5-10=-5$$.

3. в) Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$x-y=2 \Rightarrow y=x-2.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+x(x-2)-x-(x-2)=2$$

   $$x^2+x^2-2x-x-x+2=2$$

   $$2x^2-4x=0$$

   $$2x(x-2)=0$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=2$$.

   Если $$x=0$$, то $$y=0-2=-2$$.

   Если $$x=2$$, то $$y=2-2=0$$.

4. г) Из второго уравнения выразим $$x$$:

   $$x+2y=0 \Rightarrow x=-2y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$(-2y)^2+y^2+3y(-2y)=-1$$

   $$4y^2+y^2-6y^2=-1$$

   $$-y^2=-1$$

   $$y^2=1$$

   Отсюда $$y=1$$ или $$y=-1$$.

   Если $$y=1$$, то $$x=-2\cdot1=-2$$.

   Если $$y=-1$$, то $$x=-2\cdot(-1)=2$$.

Ответ

а) $$(-3;\,-2)$$ и $$(3;\,1)$$; б) $$(-5;\,10)$$; в) $$(0;\,-2)$$ и $$(2;\,0)$$; г) $$(-2;\,1)$$ и $$(2;\,-1)$$.