Упр.6 Вариант 1 Контрольная работа 4 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Докажите, что если последовательность b1, Ь2, … , bn, … образует геометрическую прогрессию, то и последовательность b1^4,b2^4 , … , bn^4, … также образует геометрическую прогрессию. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 kontr4/1/6 95

Пусть последовательность $$b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$$ является геометрической прогрессией. Тогда для любого $$n \ge 2$$ выполняется свойство геометрической прогрессии:

$$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.$$

Возведём обе части равенства в квадрат:

$$\left(b_n^2\right)^2=\left(b_{n-1}\cdot b_{n+1}\right)^2.$$

Получаем:

$$b_n^4=b_{n-1}^2\cdot b_{n+1}^2.$$

Теперь снова возведём обе части в квадрат:

$$\left(b_n^4\right)^2=\left(b_{n-1}^2\cdot b_{n+1}^2\right)^2,$$

то есть

$$b_n^8=b_{n-1}^4\cdot b_{n+1}^4.$$

Следовательно, для последовательности $$b_1^4, b_2^4, \ldots, b_n^4, \ldots$$ выполняется условие геометрической прогрессии:

$$\left(b_n^4\right)^2=b_{n-1}^4\cdot b_{n+1}^4.$$

Значит, последовательность $$b_1^4, b_2^4, \ldots, b_n^4, \ldots$$ также является геометрической прогрессией.

Ответ

Последовательность $$b_1^4, b_2^4, \ldots, b_n^4, \ldots$$ — геометрическая прогрессия.