Упр.6 Вариант 2 Контрольная работа 4 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если последовательность $$b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$$ образует геометрическую прогрессию, то и последовательность $$b_1^3, b_2^3, \ldots, b_n^3, \ldots$$ также образует геометрическую прогрессию.

Пусть последовательность $$b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$$ — геометрическая прогрессия. Тогда для любого $$n$$ выполняется свойство геометрической прогрессии:

$$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.$$

Возведём обе части равенства в куб:

$$\left(b_n^2\right)^3=\left(b_{n-1}\cdot b_{n+1}\right)^3.$$

Получаем:

$$b_n^6=b_{n-1}^3\cdot b_{n+1}^3.$$

Тогда

$$\left(b_n^3\right)^2=b_{n-1}^3\cdot b_{n+1}^3.$$

Значит, последовательность $$b_1^3, b_2^3, \ldots, b_n^3, \ldots$$ также является геометрической прогрессией.

Ответ

Последовательность $$b_1^3, b_2^3, \ldots, b_n^3, \ldots$$ — геометрическая прогрессия.