Упр.6.24 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки: а) $$A(3; 13)$$, $$В(-7; -11)$$, $$С(10; 6)$$; б) $$А(7; -7)$$, $$Б(-2; -4)$$, $$С(6; 0)$$.

Уравнение окружности с центром $$O(x_0;y_0)$$ и радиусом $$R$$ имеет вид:

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$$

1. Для точек $$A(3;13),\ B(-7;-11),\ C(10;6)$$ получаем систему:

   $$\begin{cases} (3-x_0)^2+(13-y_0)^2=R^2,\\ (-7-x_0)^2+(-11-y_0)^2=R^2,\\ (10-x_0)^2+(6-y_0)^2=R^2. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

   $$\begin{cases} 5x_0+12y_0-2=0,\\ y_0=x_0+3. \end{cases}$$

   Подставим $$y_0=x_0+3$$:

   $$5x_0+12(x_0+3)-2=0$$
   $$17x_0+34=0$$
   $$x_0=-2,\quad y_0=1.$$

   Найдём радиус:

   $$R^2=(3-(-2))^2+(13-1)^2=5^2+12^2=169,$$
   значит $$R=13.$$

   Уравнение окружности:

   $$(x+2)^2+(y-1)^2=169.$$

2. Для точек $$A(7;-7),\ B(-2;-4),\ C(6;0)$$ получаем систему:

   $$\begin{cases} (7-x_0)^2+(-7-y_0)^2=R^2,\\ (-2-x_0)^2+(-4-y_0)^2=R^2,\\ (6-x_0)^2+y_0^2=R^2. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

   $$\begin{cases} 3x_0-y_0=13,\\ x_0-7y_0=31. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$y_0=3x_0-13$$. Подставим во второе:

   $$x_0-7(3x_0-13)=31$$
   $$x_0-21x_0+91=31$$
   $$-20x_0=-60$$
   $$x_0=3,\quad y_0=-4.$$

   Найдём радиус:

   $$R^2=(7-3)^2+(-7-(-4))^2=4^2+(-3)^2=25,$$
   значит $$R=5.$$

   Уравнение окружности:

   $$(x-3)^2+(y+4)^2=25.$$

Ответ

а) $$(x+2)^2+(y-1)^2=169;$$
б) $$(x-3)^2+(y+4)^2=25.$$