Упр.6.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

а) Обозначим

$$t=\frac{1}{x^2-xy}, \qquad k=\frac{1}{y^2-xy}.$$

Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} 5t+4k=-\frac16,\\ 7t-3k=\frac65. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$4$$:

$$ \begin{cases} 15t+12k=-\frac12,\\ 28t-12k=\frac{24}{5}. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$43t=-\frac12+\frac{24}{5}=\frac{43}{10},$$

откуда

$$t=\frac{1}{10}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$5\cdot \frac{1}{10}+4k=-\frac16,$$

$$\frac12+4k=-\frac16,$$

$$4k=-\frac23,$$

$$k=-\frac16.$$

Тогда

$$\frac{1}{x^2-xy}=\frac{1}{10}, \qquad \frac{1}{y^2-xy}=-\frac16,$$

то есть

$$x^2-xy=10, \qquad y^2-xy=-6.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$x^2+y^2-2xy=4,$$

$$ (x-y)^2=4,$$

$$x-y=\pm 2.$$

Из второго уравнения:

$$y(y-x)=-6,$$

или

$$y(x-y)=6.$$

1) Если $$x-y=2,$$ то

$$2y=6,$$

$$y=3,$$

$$x=5.$$

2) Если $$x-y=-2,$$ то

$$-2y=6,$$

$$y=-3,$$

$$x=-5.$$

б) Обозначим

$$a=\frac{1}{x+y-1}, \qquad b=\frac{1}{2x-y+3}.$$

Тогда система имеет вид

$$ \begin{cases} 4a-5b+\frac52=0,\\ 3a+b+\frac75=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$b=-3a-\frac75.$$

Подставим в первое:

$$4a-5\left(-3a-\frac75\right)+\frac52=0,$$

$$4a+15a+7+\frac52=0,$$

$$19a+\frac{19}{2}=0,$$

$$a=-\frac12.$$

Тогда

$$b=-3\cdot\left(-\frac12\right)-\frac75=\frac32-\frac75=\frac{1}{10}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{x+y-1}=-\frac12, \qquad \frac{1}{2x-y+3}=\frac{1}{10},$$

то есть

$$x+y-1=-2, \qquad 2x-y+3=10.$$

Получаем систему

$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ 2x-y=7. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$3x=6,$$

$$x=2,$$

$$y=-3.$$

Ответ

а) $$ (5; 3) $$ и $$ (-5; -3) $$; б) $$ (2; -3) $$.