Упр.6.22 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

(x+y)2+2x=35-2y,
(x-y)2-2y=3-2x;
б) система
12(x+y)2+x=2,5-y,
6(x-y)2+x=0,125+y.

а) Обозначим $$t=x+y,$$ $$k=x-y.$$ Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} t^2+2t-35=0,\\ k^2+2k-3=0. \end{cases} $$

Решим уравнения:

$$ t^2+2t-35=(t-5)(t+7)=0, $$
откуда $$t=5$$ или $$t=-7.$$

$$ k^2+2k-3=(k-1)(k+3)=0, $$
откуда $$k=1$$ или $$k=-3.$$

Теперь найдём $$x$$ и $$y$$ из систем:

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ x-y=1 \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=2; $$

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ x-y=-3 \end{cases} \Rightarrow x=1,\ y=4; $$

$$ \begin{cases} x+y=-7,\\ x-y=1 \end{cases} \Rightarrow x=-3,\ y=-4; $$

$$ \begin{cases} x+y=-7,\\ x-y=-3 \end{cases} \Rightarrow x=-5,\ y=-2. $$

б) Обозначим $$t=x+y,$$ $$k=x-y.$$ Тогда:

$$ \begin{cases} 12t^2+t-2{,}5=0,\\ 6k^2+k-0{,}125=0. \end{cases} $$

Решим первое уравнение:

$$ D=1+120=121, $$
$$ t=\frac{-1\pm 11}{24}. $$

Отсюда $$t=\frac{5}{12}$$ или $$t=-\frac{1}{2}.$$

Решим второе уравнение:

$$ D=1+3=4, $$
$$ k=\frac{-1\pm 2}{12}. $$

Отсюда $$k=\frac{1}{12}$$ или $$k=-\frac{1}{4}.$$

Теперь найдём пары $$x$$ и $$y$$:

$$ \begin{cases} x+y=\frac{5}{12},\\ x-y=\frac{1}{12} \end{cases} \Rightarrow x=\frac{1}{4},\ y=\frac{1}{6}; $$

$$ \begin{cases} x+y=\frac{5}{12},\\ x-y=-\frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow x=\frac{1}{12},\ y=\frac{1}{3}; $$

$$ \begin{cases} x+y=-\frac{1}{2},\\ x-y=\frac{1}{12} \end{cases} \Rightarrow x=-\frac{5}{24},\ y=-\frac{7}{24}; $$

$$ \begin{cases} x+y=-\frac{1}{2},\\ x-y=-\frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow x=-\frac{3}{8},\ y=-\frac{1}{8}. $$

Ответ

а) $$(3; 2),\ (1; 4),\ (-3; -4),\ (-5; -2).$$

б) $$(\tfrac{1}{4}; \tfrac{1}{6}),\ (\tfrac{1}{12}; \tfrac{1}{3}),\ (-\tfrac{5}{24}; -\tfrac{7}{24}),\ (-\tfrac{3}{8}; -\tfrac{1}{8}).$$