Упр.6.21 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

(x+2y)2+(y-2x)2=90,
(x+2y)+(y-2x)=12;
б) система
x+y+x/y=15,
(x+y)x/y=56;
в) система
x+y+x/y=9,
(x+y)x/y20;
г) система
1/x-1/y=2,
1/x2-1/y2=16.

1. а) Обозначим $$t=x+2y,$$ $$k=y-2x.$$ Тогда получаем систему

   $$ \begin{cases} t^2+k^2=90,\\ t+k=12. \end{cases} $$

   Из $$t=12-k$$ имеем

   $$ (12-k)^2+k^2=90 $$

   $$ 144-24k+2k^2=90 $$

   $$ k^2-12k+27=0 $$

   $$ D=144-108=36,\quad k_1=9,\quad k_2=3. $$

   Тогда $$t_1=12-9=3,$$ $$t_2=12-3=9.$$

   1) $$\begin{cases}x+2y=9,\\ y-2x=3.\end{cases}$$ Умножим первое уравнение на $$2$$:

   $$ \begin{cases} x+2y=9,\\ 2y-4x=6. \end{cases} $$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$ 5x=3,\quad x=\frac35. $$

   Тогда

   $$ y=\frac{9-x}{2}=\frac{9-\frac35}{2}=\frac{21}{5}. $$

   2) $$\begin{cases}x+2y=3,\\ y-2x=9.\end{cases}$$ Умножим первое уравнение на $$2$$:

   $$ \begin{cases} 2x+4y=6,\\ y-2x=9. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ 5y=15,\quad y=3. $$

   Тогда

   $$ x=\frac{3-2y}{1}=-3. $$

2. б) Обозначим $$t=x+y,$$ $$k=\frac{x}{y}.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} t+k=15,\\ tk=56. \end{cases} $$

   Подставим $$t=15-k$$:

   $$ (15-k)k=56 $$

   $$ k^2-15k+56=0 $$

   $$ D=225-224=1,\quad k_1=8,\quad k_2=7. $$

   Тогда $$t_1=7,$$ $$t_2=8.$$

   1) $$\begin{cases}x+y=7,\\ \frac{x}{y}=8.\end{cases}$$ Отсюда $$x=8y,$$ значит

   $$ 8y+y=7,\quad 9y=7,\quad y=\frac79,\quad x=\frac{56}{9}. $$

   2) $$\begin{cases}x+y=8,\\ \frac{x}{y}=7.\end{cases}$$ Тогда $$x=7y,$$ значит

   $$ 7y+y=8,\quad 8y=8,\quad y=1,\quad x=7. $$

3. в) Обозначим $$t=x+y,$$ $$k=\frac{x}{y}.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} t+k=9,\\ tk=20. \end{cases} $$

   Подставим $$t=9-k$$:

   $$ (9-k)k=20 $$

   $$ k^2-9k+20=0 $$

   $$ D=81-80=1,\quad k_1=5,\quad k_2=4. $$

   Тогда $$t_1=4,$$ $$t_2=5.$$

   1) $$\begin{cases}x+y=4,\\ \frac{x}{y}=5.\end{cases}$$ Тогда $$x=5y,$$ значит

   $$ 5y+y=4,\quad 6y=4,\quad y=\frac23,\quad x=\frac{10}{3}. $$

   2) $$\begin{cases}x+y=5,\\ \frac{x}{y}=4.\end{cases}$$ Тогда $$x=4y,$$ значит

   $$ 4y+y=5,\quad 5y=5,\quad y=1,\quad x=4. $$

4. г) Перепишем систему:

   $$ \begin{cases} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2,\\ \frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}=16. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$ \frac{y-x}{xy}=2. $$

   Во втором уравнении разность квадратов:

   $$ \frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2}=16. $$

   Так как $$\frac{y-x}{xy}=2,$$ то

   $$ \frac{x+y}{xy}\cdot 2=16, $$

   $$ \frac{x+y}{xy}=8. $$

   Получаем систему

   $$ \begin{cases} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=8. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ \frac{2}{x}=10,\quad x=\frac15. $$

   Тогда

   $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=8 \Rightarrow 5+\frac{1}{y}=8 \Rightarrow \frac{1}{y}=3,\quad y=\frac13. $$

Ответ

а) $$\left(\frac35;\frac{21}{5}\right),\ (-3;3)$$; б) $$\left(\frac{56}{9};\frac79\right),\ (7;1)$$; в) $$\left(\frac{10}{3};\frac23\right),\ (4;1)$$; г) $$\left(\frac15;\frac13\right).$$