Упр.6.19 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

xy-2x+3y=6,
2xy-3x+5y=11;
б) система
y2+3x-y=1,
y2+6x-2y=1;
в) система
x2+3x-4y=20,
x2-2x+y=-5;
г) система
x+xy+y=5,
xy-2x-2y+4=0.

1. а)

   $$\begin{cases} xy-2x+3y=6,\\ 2xy-3x+5y=11. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$ и вычтем из второго:
   $$\begin{cases} xy-2x+3y=6,\\ xy-x+2y=5. \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$x-y=-1,\quad x=y-1.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ (y-1)y-2(y-1)+3y=6,$$
   $$y^2-y-2y+2+3y=6,$$
   $$y^2=4,$$
   $$y=\pm 2.$$
   Тогда
   $$x=y-1.$$
   При $$y=2$$ получаем $$x=1$$, при $$y=-2$$ получаем $$x=-3$$.

2. б)

   $$\begin{cases} y^2+3x-y=1,\\ y^2+6x-2y=1. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$3x=-y^2+y+1.$$
   Подставим во второе:
   $$y^2+2(-y^2+y+1)-2y=1,$$
   $$-y^2+2=1,$$
   $$y^2=1,$$
   $$y=\pm 1.$$
   Тогда
   $$x=\frac{-y^2+y+1}{3}.$$
   При $$y=1$$:
   $$x=\frac{-1+1+1}{3}=\frac13.$$
   При $$y=-1$$:
   $$x=\frac{-1-1+1}{3}=-\frac13.$$

3. в)

   $$\begin{cases} x^2+3x-4y=20,\\ x^2-2x+y=-5. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$4$$:
   $$4x^2-8x+4y=-20.$$
   Сложим с первым:
   $$5x^2-5x=0,$$
   $$5x(x-1)=0.$$
   Значит,
   $$x=0 \text{ или } x=1.$$
   Найдём соответствующие $$y$$:
   $$x=0:\quad y=-5;$$
   $$x=1:\quad y=-4.$$

4. г)

   $$\begin{cases} x+xy+y=5,\\ xy-2x-2y+4=0. \end{cases}$$
   Преобразуем второе уравнение:
   $$xy-2x-2y+4=0 \;\Rightarrow\; xy-2x-2y=-4.$$
   Умножим первое уравнение на $$-2$$:
   $$-2x-2xy-2y=-10.$$
   Складывая с преобразованным вторым уравнением, получаем:
   $$-x-3y=-6,$$
   $$x+3y=6.$$
   Из первого уравнения:
   $$x+xy+y=5 \;\Rightarrow\; x(1+y)=5-y.$$
   Подставим $$x=6-3y$$:
   $$(6-3y)(1+y)=5-y,$$
   $$6+6y-3y-3y^2=5-y,$$
   $$3y^2-4y-1=0.$$
   Тогда
   $$D=16+12=28,$$
   $$y=\frac{4\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{2\pm\sqrt7}{3}.$$
   Подставляя в $$x=6-3y$$, получаем:
   $$x=4\mp\sqrt7.$$
   Следовательно, решения системы:
   $$\left(4-\sqrt7;\,\frac{2+\sqrt7}{3}\right),\quad \left(4+\sqrt7;\,\frac{2-\sqrt7}{3}\right).$$

Ответ

а) $$(-3;\,-2)$$ и $$ (1;\,2)$$;
б) $$\left(-\frac13;\,-1\right)$$ и $$\left(\frac13;\,1\right)$$;
в) $$ (0;\,-5)$$ и $$ (1;\,-4)$$;
г) $$\left(4-\sqrt7;\,\frac{2+\sqrt7}{3}\right)$$ и $$\left(4+\sqrt7;\,\frac{2-\sqrt7}{3}\right)$$.