Упр.6.18 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

x+y=-2,
x2+2xy+y2=1-xy;
б) система
2x-y=3,
4×2-4xy+y2=2x+3y;
в) система
x2-6xy+9y2=x-y,
x-3y=-1;
г) система
x+2y=2,
x2+4y+4y2=2y+4x.

1. а)

   $$x+y=-2$$
   $$x^2+2xy+y^2=1-xy$$

   Так как $$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2,$$ получаем:
   $$\begin{aligned} (x+y)^2&=1-xy\\ (-2)^2&=1-xy\\ 4&=1-xy\\ xy&=-3 \end{aligned}$$

   Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-(x+y)t+xy=0,$$
   то есть
   $$t^2+2t-3=0.$$
   Отсюда
   $$t_1=1,\quad t_2=-3.$$

   Значит, $$\{x,y\}=\{1,-3\}.$$

2. б)

   $$2x-y=3$$
   $$4x^2-4xy+y^2=2x+3y$$

   Заметим, что $$4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2.$$ Тогда
   $$\begin{aligned} (2x-y)^2&=2x+3y\\ 3^2&=2x+3y\\ 2x+3y&=9 \end{aligned}$$

   Решим систему:
   $$\begin{aligned} 2x-y&=3\\ 2x+3y&=9 \end{aligned}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$4y=6,\quad y=\frac{3}{2}.$$
   Тогда
   $$2x-\frac{3}{2}=3,\quad 2x=\frac{9}{2},\quad x=\frac{9}{4}.$$

3. в)

   $$x^2-6xy+9y^2=x-y$$
   $$x-3y=-1$$

   Так как $$x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2,$$ то
   $$\begin{aligned} (x-3y)^2&=x-y\\ (-1)^2&=x-y\\ x-y&=1 \end{aligned}$$

   Получаем систему:
   $$\begin{aligned} x-y&=1\\ x-3y&=-1 \end{aligned}$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$2y=2,\quad y=1.$$
   Тогда
   $$x-y=1,\quad x=2.$$

4. г)

   $$x+2y=2$$
   $$x^2+4y+4y^2=2y+4x$$

   Перепишем второе уравнение:
   $$x^2-4x+4y^2+2y=0.$$
   Используем первое уравнение:
   $$x=2-2y.$$
   Подставим в второе:
   $$\begin{aligned} (2-2y)^2+4y+4y^2&=2y+4(2-2y)\\ 4-8y+4y^2+4y+4y^2&=2y+8-8y\\ 8y^2-4y+4&=8-6y\\ 8y^2+2y-4&=0\\ 4y^2+y-2&=0 \end{aligned}$$

   Решим квадратное уравнение:
   $$D=1+32=33,$$
   $$y=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}.$$
   Тогда
   $$x=2-2y=2-\frac{-1\pm\sqrt{33}}{4}=\frac{9\mp\sqrt{33}}{4}.$$

Ответ

а) $$(-3;1),\ (1;-3)$$;
б) $$\left(\frac{9}{4};\frac{3}{2}\right)$$;
в) $$ (2;1) $$;
г) $$\left(\frac{9-\sqrt{33}}{4};\frac{-1+\sqrt{33}}{8}\right),\ \left(\frac{9+\sqrt{33}}{4};\frac{-1-\sqrt{33}}{8}\right).$$