Упр.6.17 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

x2-3x-2y=4,
x2+x-3y=18;
б) система
xy+x=56,
xy+y=54;
в) система
x2+2x+3y=3,
x2+x+2y=4;
г) система
3x-xy=10,
y+xy=6.

Подробный ответ

а) Из первого уравнения вычтем второе:
$$ \begin{aligned} x^2-3x-2y&=4,\\ x^2+x-3y&=18. \end{aligned} $$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
$$ \begin{aligned} 3x^2-9x-6y&=12,\\ 2x^2+2x-6y&=36. \end{aligned} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ x^2-11x+24=0. $$
$$ D=121-96=25,\quad x=\frac{11\pm 5}{2}. $$
Получаем:
$$ x_1=3,\quad x_2=8. $$
Найдём $$y$$:
при $$x=3$$:
$$ 9-9-2y=4 \Rightarrow y=-2; $$
при $$x=8$$:
$$ 64-24-2y=4 \Rightarrow y=18. $$
Ответ: $$(3;\,-2)$$ и $$(8;\,18)$$.
б) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$ xy+y=54 \Rightarrow y(x+1)=54 \Rightarrow y=\frac{54}{x+1}. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ x\cdot \frac{54}{x+1}+x=56. $$
Умножим на $$x+1$$:
$$ 54x+x(x+1)=56(x+1). $$
$$ x^2-x-56=0. $$
$$ D=1+224=225,\quad x=\frac{1\pm 15}{2}. $$
$$ x_1=-7,\quad x_2=8. $$
Тогда:
при $$x=-7$$:
$$ y=\frac{54}{-7+1}=-9; $$
при $$x=8$$:
$$ y=\frac{54}{8+1}=6. $$
Ответ: $$(-7;\,-9)$$ и $$(8;\,6)$$.
в) Умножим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$3$$:
$$ \begin{aligned} 2x^2+4x+6y&=6,\\ 3x^2+3x+6y&=12. \end{aligned} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ x^2-x-6=0. $$
$$ D=1+24=25,\quad x=\frac{1\pm 5}{2}. $$
$$ x_1=3,\quad x_2=-2. $$
Найдём $$y$$:
при $$x=3$$:
$$ 9+6+3y=3 \Rightarrow y=-4; $$
при $$x=-2$$:
$$ 4-4+3y=3 \Rightarrow y=1. $$
Ответ: $$(3;\,-4)$$ и $$(-2;\,1)$$.
г) Из второго уравнения:
$$ y+xy=6 \Rightarrow y(x+1)=6 \Rightarrow y=\frac{6}{x+1}. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 3x-x\cdot \frac{6}{x+1}=10. $$
Умножим на $$x+1$$:
$$ 3x(x+1)-6x=10(x+1). $$
$$ 3x^2-13x-10=0. $$
$$ D=169+120=289,\quad x=\frac{13\pm 17}{6}. $$
$$ x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=5. $$
Тогда:
при $$x=-\frac{2}{3}$$:
$$ y=\frac{6}{-\frac{2}{3}+1}=18; $$
при $$x=5$$:
$$ y=\frac{6}{5+1}=1. $$
Ответ: $$\left(-\frac{2}{3};\,18\right)$$ и $$(5;\,1)$$.