Упр.6.17 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\begin{cases} x^2-3x-2y=4,\\ x^2+x-3y=18; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} xy+x=56,\\ xy+y=54; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} x^2+2x+3y=3,\\ x^2+x+2y=4; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 3x-xy=10,\\ y+xy=6. \end{cases}$$

Подробный ответ

а) Из первого уравнения вычтем второе:
$$\begin{aligned} x^2-3x-2y&=4,\\ x^2+x-3y&=18. \end{aligned}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
$$\begin{aligned} 3x^2-9x-6y&=12,\\ 2x^2+2x-6y&=36. \end{aligned}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$x^2-11x+24=0.$$
$$D=121-96=25,\quad x=\frac{11\pm 5}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=3,\quad x_2=8.$$
Найдём $$y$$:
при $$x=3$$:
$$9-9-2y=4 \Rightarrow y=-2;$$
при $$x=8$$:
$$64-24-2y=4 \Rightarrow y=18.$$
Ответ: $$(3;\,-2)$$ и $$(8;\,18)$$.
б) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$xy+y=54 \Rightarrow y(x+1)=54 \Rightarrow y=\frac{54}{x+1}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x\cdot \frac{54}{x+1}+x=56.$$
Умножим на $$x+1$$:
$$54x+x(x+1)=56(x+1).$$
$$x^2-x-56=0.$$
$$D=1+224=225,\quad x=\frac{1\pm 15}{2}.$$
$$x_1=-7,\quad x_2=8.$$
Тогда:
при $$x=-7$$:
$$y=\frac{54}{-7+1}=-9;$$
при $$x=8$$:
$$y=\frac{54}{8+1}=6.$$
Ответ: $$(-7;\,-9)$$ и $$(8;\,6)$$.
в) Умножим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$3$$:
$$\begin{aligned} 2x^2+4x+6y&=6,\\ 3x^2+3x+6y&=12. \end{aligned}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$x^2-x-6=0.$$
$$D=1+24=25,\quad x=\frac{1\pm 5}{2}.$$
$$x_1=3,\quad x_2=-2.$$
Найдём $$y$$:
при $$x=3$$:
$$9+6+3y=3 \Rightarrow y=-4;$$
при $$x=-2$$:
$$4-4+3y=3 \Rightarrow y=1.$$
Ответ: $$(3;\,-4)$$ и $$(-2;\,1)$$.
г) Из второго уравнения:
$$y+xy=6 \Rightarrow y(x+1)=6 \Rightarrow y=\frac{6}{x+1}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3x-x\cdot \frac{6}{x+1}=10.$$
Умножим на $$x+1$$:
$$3x(x+1)-6x=10(x+1).$$
$$3x^2-13x-10=0.$$
$$D=169+120=289,\quad x=\frac{13\pm 17}{6}.$$
$$x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=5.$$
Тогда:
при $$x=-\frac{2}{3}$$:
$$y=\frac{6}{-\frac{2}{3}+1}=18;$$
при $$x=5$$:
$$y=\frac{6}{5+1}=1.$$
Ответ: $$\left(-\frac{2}{3};\,18\right)$$ и $$(5;\,1)$$.