Упр.6.16 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система $$\begin{cases}(x+y)^2-(x-y)-8=0,\\(x+y)^2+(x-y)-10=0;\end{cases}$$
б) система $$\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{10}{3},\\x-y=6;\end{cases}$$
в) система $$\begin{cases}2x+y+(x-2y)^2=3,\\x^2+4xy+4y^2=9-3(2x+y);\end{cases}$$
г) система $$\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{17}{4},\\x+y=10.\end{cases}$$

Подробный ответ

Положим $$t=x+y,$$ $$k=x-y.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} t^2-k-8=0,\\ t^2+k-10=0. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2t^2-18=0,$$ откуда $$t^2=9,$$ значит $$t=\pm 3.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2k-2=0,$$ откуда $$k=1.$$
Тогда:
$$\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x=2,\ y=1;$$
или
$$\begin{cases} x+y=-3,\\ x-y=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x=-1,\ y=-2.$$
Пусть $$p=\dfrac{x}{y}.$$ Тогда
$$p+\frac{1}{p}=\frac{10}{3}.$$
Умножим на $$3p$$:
$$3p^2-10p+3=0.$$
$$D=100-36=64,$$
$$p_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},$$
откуда $$p_1=3,$$ $$p_2=\frac13.$$
1) Если $$\dfrac{x}{y}=3,$$ то $$x=3y.$$ Из $$x-y=6$$ получаем
$$3y-y=6,$$ $$2y=6,$$ $$y=3,$$ $$x=9.$$
2) Если $$\dfrac{x}{y}=\frac13,$$ то $$x=\frac{y}{3}.$$ Из $$x-y=6$$ получаем
$$\frac{y}{3}-y=6,$$ $$-\frac{2y}{3}=6,$$ $$y=-9,$$ $$x=-3.$$
Обозначим $$t=2x+y,$$ $$k=x-2y.$$ Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} t+k^2=3,\\ k^2=9-3t. \end{cases}$$
Подставим второе уравнение в первое:
$$t+9-3t=3,$$ $$-2t=-6,$$ $$t=3.$$
Тогда $$k^2=9-3\cdot 3=0,$$ значит $$k=0.$$ Получаем систему
$$\begin{cases} 2x+y=3,\\ x-2y=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=2y.$$ Подставим в первое:
$$4y+y=3,$$ $$5y=3,$$ $$y=\frac35.$$
Тогда $$x=2\cdot \frac35=\frac65.$$
Пусть $$p=\dfrac{x}{y}.$$ Тогда
$$p+\frac{1}{p}=\frac{17}{4}.$$
Умножим на $$4p$$:
$$4p^2-17p+4=0.$$
$$D=289-64=225,$$
$$p_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8},$$
откуда $$p_1=4,$$ $$p_2=\frac14.$$
1) Если $$\dfrac{x}{y}=4,$$ то $$x=4y.$$ Из $$x+y=10$$ получаем
$$4y+y=10,$$ $$5y=10,$$ $$y=2,$$ $$x=8.$$
2) Если $$\dfrac{x}{y}=\frac14,$$ то $$x=\frac{y}{4}.$$ Из $$x+y=10$$ получаем
$$\frac{y}{4}+y=10,$$ $$\frac{5y}{4}=10,$$ $$y=8,$$ $$x=2.$$