Упр.6.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases} x^2+y^2+x+y=2, \\ 2x^2-y^2+2x-y=4; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} x^2+y^2-2x+3y=31, \\ x^2+y^2-2x-y=15; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} x^2+y^2-5x+y=2, \\ 5y^2+5x^2+x+5y=36; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} 3x^2+y^2+3x+y=18, \\ x^2-y^2+x-y=6. \end{cases}$$
а) Умножим первое уравнение на $$2$$ и вычтем из него второе:
$$\begin{aligned} x^2+y^2+x+y&=2,\\ 2x^2-y^2+2x-y&=4. \end{aligned}$$
$$2x^2+2y^2+2x+2y-(2x^2-y^2+2x-y)=4-4,$$
$$3y^2+3y=0,$$
$$3y(y+1)=0.$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=-1$$.
1) При $$y=0$$:
$$x^2+x-2=0,$$
$$(x-1)(x+2)=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=-2.$$
Получаем точки $$(1;0)$$ и $$(-2;0)$$.
2) При $$y=-1$$:
$$x^2+x-2=0,$$
$$(x-1)(x+2)=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=-2.$$
Получаем точки $$(1;-1)$$ и $$(-2;-1)$$.
б) Вычтем второе уравнение из первого:
$$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+3y&=31,\\ x^2+y^2-2x-y&=15. \end{aligned}$$
$$4y=16,$$
$$y=4.$$
Подставим в второе уравнение:
$$x^2+4^2-2x-4=15,$$
$$x^2-2x-3=0,$$
$$(x-3)(x+1)=0.$$
Значит, $$x=3$$ или $$x=-1$$.
Получаем точки $$(3;4)$$ и $$(-1;4)$$.
в) Умножим первое уравнение на $$5$$ и вычтем его из второго:
$$\begin{aligned} x^2+y^2-5x+y&=2,\\ 5y^2+5x^2+x+5y&=36. \end{aligned}$$
$$5x^2+5y^2-25x+5y=10,$$
$$(5x^2+5y^2+x+5y)-(5x^2+5y^2-25x+5y)=36-10,$$
$$26x=26,$$
$$x=1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$1+y^2-5+y=2,$$
$$y^2+y-6=0,$$
$$(y-2)(y+3)=0.$$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=-3$$.
Получаем точки $$(1;2)$$ и $$(1;-3)$$.
г) Сложим уравнения:
$$\begin{aligned} 3x^2+y^2+3x+y&=18,\\ x^2-y^2+x-y&=6. \end{aligned}$$
$$4x^2+4x=24,$$
$$x^2+x-6=0,$$
$$(x-2)(x+3)=0.$$
Значит, $$x=2$$ или $$x=-3$$.
1) При $$x=2$$:
$$4-y^2+2-y=6,$$
$$y^2+y=0,$$
$$y(y+1)=0,$$
$$y=0 \text{ или } y=-1.$$
Получаем точки $$(2;0)$$ и $$(2;-1)$$.
2) При $$x=-3$$:
$$9-y^2-3-y=6,$$
$$y^2+y=0,$$
$$y=0 \text{ или } y=-1.$$
Получаем точки $$(-3;0)$$ и $$(-3;-1)$$.
Ответ
а) $$(1;0),\ (-2;0),\ (1;-1),\ (-2;-1)$$;
б) $$(-1;4),\ (3;4)$$;
в) $$(1;2),\ (1;-3)$$;
г) $$(2;0),\ (2;-1),\ (-3;0),\ (-3;-1)$$.
