Упр.6.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система
х2 + у2 + х +у = 2,
2Х2 — у2 + 2х — у = 4;
б) система
х2 + y2 — 2х+ 3у = 31,
х2 + у2 — 2х — у = 15;
в) система
х2 + У2 — 5x + У = 2,
5y2 + 5×2 + х + 5y = 36;
в) система
3х2 + у2 + Зх + у = 18,
х2 — у2 + х — у = 6.

Подробный ответ

а) Умножим первое уравнение на $$2$$ и вычтем из него второе:
$$ \begin{aligned} x^2+y^2+x+y&=2,\\ 2x^2-y^2+2x-y&=4. \end{aligned} $$
$$ 2x^2+2y^2+2x+2y-(2x^2-y^2+2x-y)=4-4, $$
$$ 3y^2+3y=0, $$
$$ 3y(y+1)=0. $$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=-1$$.
1) При $$y=0$$:
$$ x^2+x-2=0, $$
$$ (x-1)(x+2)=0, $$
$$ x=1 \text{ или } x=-2. $$
Получаем точки $$ (1;0) $$ и $$ (-2;0) $$.
2) При $$y=-1$$:
$$ x^2+x-2=0, $$
$$ (x-1)(x+2)=0, $$
$$ x=1 \text{ или } x=-2. $$
Получаем точки $$ (1;-1) $$ и $$ (-2;-1) $$.
б) Вычтем второе уравнение из первого:
$$ \begin{aligned} x^2+y^2-2x+3y&=31,\\ x^2+y^2-2x-y&=15. \end{aligned} $$
$$ 4y=16, $$
$$ y=4. $$
Подставим в второе уравнение:
$$ x^2+4^2-2x-4=15, $$
$$ x^2-2x-3=0, $$
$$ (x-3)(x+1)=0. $$
Значит, $$x=3$$ или $$x=-1$$.
Получаем точки $$ (3;4) $$ и $$ (-1;4) $$.
в) Умножим первое уравнение на $$5$$ и вычтем его из второго:
$$ \begin{aligned} x^2+y^2-5x+y&=2,\\ 5y^2+5x^2+x+5y&=36. \end{aligned} $$
$$ 5x^2+5y^2-25x+5y=10, $$
$$ (5x^2+5y^2+x+5y)-(5x^2+5y^2-25x+5y)=36-10, $$
$$ 26x=26, $$
$$ x=1. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 1+y^2-5+y=2, $$
$$ y^2+y-6=0, $$
$$ (y-2)(y+3)=0. $$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=-3$$.
Получаем точки $$ (1;2) $$ и $$ (1;-3) $$.
г) Сложим уравнения:
$$ \begin{aligned} 3x^2+y^2+3x+y&=18,\\ x^2-y^2+x-y&=6. \end{aligned} $$
$$ 4x^2+4x=24, $$
$$ x^2+x-6=0, $$
$$ (x-2)(x+3)=0. $$
Значит, $$x=2$$ или $$x=-3$$.
1) При $$x=2$$:
$$ 4-y^2+2-y=6, $$
$$ y^2+y=0, $$
$$ y(y+1)=0, $$
$$ y=0 \text{ или } y=-1. $$
Получаем точки $$ (2;0) $$ и $$ (2;-1) $$.
2) При $$x=-3$$:
$$ 9-y^2-3-y=6, $$
$$ y^2+y=0, $$
$$ y=0 \text{ или } y=-1. $$
Получаем точки $$ (-3;0) $$ и $$ (-3;-1) $$.