Упр.6.14 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

x2-2y=3,
x2y=27;
б) система
x2+y=10,
x4+x2y=90;
в) система
x+y2-2,
2y2+x2=3;
г) система
x2+y4=5,
xy2=2.

Подробный ответ

а) Из первого уравнения выразим $$x^2$$:
$$x^2=3+2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2y=27 \Rightarrow (3+2y)y=27,$$
$$2y^2+3y-27=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-27)=225,$$
$$y=\frac{-3\pm 15}{4}.$$
Получаем:
$$y_1=-\frac{9}{2}, \quad y_2=3.$$
Если $$y=-\frac{9}{2},$$ то
$$x^2=3+2\left(-\frac{9}{2}\right)=-6,$$
что невозможно.
Если $$y=3,$$ то
$$x^2=3+2\cdot 3=9,$$
$$x=\pm 3.$$
Значит, решения: $$(-3;3)$$ и $$(3;3).$$
б) Из первого уравнения:
$$y=10-x^2.$$
Подставим во второе:
$$x^4+x^2y=90,$$
$$x^4+x^2(10-x^2)=90,$$
$$10x^2=90,$$
$$x^2=9,$$
$$x=\pm 3.$$
Тогда
$$y=10-9=1.$$
Следовательно, решения: $$(-3;1)$$ и $$(3;1).$$
в) Из первого уравнения:
$$y^2=2-x.$$
Подставим во второе:
$$2y^2+x^2=3,$$
$$2(2-x)+x^2=3,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
$$x=1.$$
Тогда
$$y^2=2-1=1,$$
$$y=\pm 1.$$
Получаем решения: $$(1;-1)$$ и $$(1;1).$$
г) Из второго уравнения:
$$y^2=\frac{2}{x}, \quad x\ne 0.$$
Подставим в первое:
$$x^2+\left(\frac{2}{x}\right)^2=5,$$
$$x^2+\frac{4}{x^2}=5.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-5x^2+4=0.$$
Положим $$t=x^2.$$ Тогда
$$t^2-5t+4=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=4.$$
1) Если $$x^2=1,$$ то $$x=\pm 1,$$ а
$$y^2=\frac{2}{x}.$$
При $$x=1$$ получаем $$y^2=2,$$ значит $$y=\pm \sqrt{2}.$$
При $$x=-1$$ имеем $$y^2=-2,$$ решений нет.
2) Если $$x^2=4,$$ то $$x=\pm 2,$$ а
$$y^2=\frac{2}{x}.$$
При $$x=2$$ получаем $$y^2=1,$$ значит $$y=\pm 1.$$
При $$x=-2$$ имеем $$y^2=-1,$$ решений нет.
Итак, решения: $$(1;-\sqrt{2}), (1;\sqrt{2}), (2;-1), (2;1).$$