Упр.6.13 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) система
х2 — у2 = 9,
ху = 20;
б) система
ху = 2,
9х2 +у2 = 13;
в) система
x2+y2=20,
xy=8;
г) система
2×2-y2=34,
xy=20.

1. а)

   $$\begin{cases} x^2-y^2=9,\\ xy=20 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=\frac{20}{y}.$$
   Подставим в первое:
   $$\left(\frac{20}{y}\right)^2-y^2=9.$$
   Умножим на $$y^2$$:
   $$400-y^4=9y^2,$$
   $$y^4+9y^2-400=0.$$
   Пусть $$t=y^2$$. Тогда
   $$t^2+9t-400=0.$$
   $$D=9^2+4\cdot 400=1681,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-9\pm 41}{2}.$$
   Получаем:
   $$t_1=-25,\quad t_2=16.$$
   Так как $$y^2\ge 0,$$ то $$t=16.$$ Тогда
   $$y=\pm 4.$$
   Если $$y=-4,$$ то
   $$x=\frac{20}{-4}=-5.$$
   Если $$y=4,$$ то
   $$x=\frac{20}{4}=5.$$

   Ответ: $$(-5;\,-4),\ (5;\,4).$$

2. б)

   $$\begin{cases} xy=2,\\ 9x^2+y^2=13 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=\frac{2}{y}.$$
   Подставим во второе:
   $$9\left(\frac{2}{y}\right)^2+y^2=13.$$
   Умножим на $$y^2$$:
   $$36+y^4=13y^2,$$
   $$y^4-13y^2+36=0.$$
   Пусть $$t=y^2$$. Тогда
   $$t^2-13t+36=0.$$
   $$D=13^2-4\cdot 36=25,$$
   $$t_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2}.$$
   Получаем:
   $$t_1=4,\quad t_2=9.$$
   1) Если $$y^2=4,$$ то $$y=\pm 2,$$ и
   $$x=\frac{2}{y}.$$
   Тогда:
   $$(-1;\,-2),\ (1;\,2).$$
   2) Если $$y^2=9,$$ то $$y=\pm 3,$$ и
   $$x=\frac{2}{y}.$$
   Тогда:
   $$\left(-\frac{2}{3};\,-3\right),\ \left(\frac{2}{3};\,3\right).$$

   Ответ: $$(-1;\,-2),\ (1;\,2),\ \left(-\frac{2}{3};\,-3\right),\ \left(\frac{2}{3};\,3\right).$$

3. в)

   $$\begin{cases} x^2+y^2=20,\\ xy=8 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=\frac{8}{y}.$$
   Подставим в первое:
   $$\left(\frac{8}{y}\right)^2+y^2=20.$$
   Умножим на $$y^2$$:
   $$64+y^4=20y^2,$$
   $$y^4-20y^2+64=0.$$
   Пусть $$t=y^2$$. Тогда
   $$t^2-20t+64=0.$$
   $$D=20^2-4\cdot 64=144,$$
   $$t_{1,2}=\frac{20\pm 12}{2}.$$
   Получаем:
   $$t_1=4,\quad t_2=16.$$
   1) Если $$y^2=4,$$ то $$y=\pm 2,$$ и
   $$x=\frac{8}{y}.$$
   Тогда:
   $$(-4;\,-2),\ (4;\,2).$$
   2) Если $$y^2=16,$$ то $$y=\pm 4,$$ и
   $$x=\frac{8}{y}.$$
   Тогда:
   $$(-2;\,-4),\ (2;\,4).$$

   Ответ: $$(-4;\,-2),\ (4;\,2),\ (-2;\,-4),\ (2;\,4).$$

4. г)

   $$\begin{cases} 2x^2-y^2=34,\\ xy=20 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=\frac{20}{y}.$$
   Подставим в первое:
   $$2\left(\frac{20}{y}\right)^2-y^2=34.$$
   Умножим на $$y^2$$:
   $$800-y^4=34y^2,$$
   $$y^4+34y^2-800=0.$$
   Пусть $$t=y^2$$. Тогда
   $$t^2+34t-800=0.$$
   $$D=34^2+4\cdot 800=4356,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-34\pm 66}{2}.$$
   Получаем:
   $$t_1=-50,\quad t_2=16.$$
   Так как $$y^2\ge 0,$$ то $$y^2=16,$$ значит
   $$y=\pm 4.$$
   Если $$y=-4,$$ то
   $$x=\frac{20}{-4}=-5.$$
   Если $$y=4,$$ то
   $$x=\frac{20}{4}=5.$$

   Ответ: $$(-5;\,-4),\ (5;\,4).$$