Упр.6.12 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

x2-y2=3,
x4-y4=15;
б) система
x2-2y2=1,
x4+3y4=129;
в) система
2×2-3y2=15,
x4-y4=80;
г) система
x2+y2=10,
x4+y4=82.

1. а)

   $$\begin{cases} x^2-y^2=3,\\ x^4-y^4=15 \end{cases}$$
   Так как $$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2),$$ то
   $$3(x^2+y^2)=15,$$
   откуда
   $$x^2+y^2=5.$$
   Складываем уравнения:
   $$\begin{cases} x^2-y^2=3,\\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$
   $$2x^2=8,\quad x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
   Тогда
   $$y^2=5-4=1,\quad y=\pm 1.$$

   Получаем решения: $$(-2;1),\ (-2;-1),\ (2;1),\ (2;-1).$$

2. б)

   $$\begin{cases} x^2-2y^2=1,\\ x^4+3y^4=129 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2=2y^2+1.$$
   Подставим во второе:
   $$\left(2y^2+1\right)^2+3y^4=129.$$
   Тогда
   $$4y^4+4y^2+1+3y^4=129,$$
   $$7y^4+4y^2-128=0.$$
   Пусть $$t=y^2$$. Получаем:
   $$7t^2+4t-128=0.$$
   $$D=4^2-4\cdot 7\cdot(-128)=3600,$$
   $$t=\frac{-4\pm 60}{14}.$$
   Отсюда
   $$t_1=4,\quad t_2=-\frac{32}{7}.$$
   Так как $$y^2\ge 0,$$ то подходит только $$y^2=4,$$ значит
   $$y=\pm 2.$$
   Тогда
   $$x^2=2\cdot 4+1=9,\quad x=\pm 3.$$

   Получаем решения: $$(-3;2),\ (-3;-2),\ (3;2),\ (3;-2).$$

3. в)

   $$\begin{cases} 2x^2-3y^2=15,\\ x^4-y^4=80 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2=\frac{15+3y^2}{2}.$$
   Подставим во второе:
   $$\left(\frac{15+3y^2}{2}\right)^2-y^4=80.$$
   Умножим на $$4$$:
   $$\left(15+3y^2\right)^2-4y^4=320,$$
   $$225+90y^2+9y^4-4y^4=320,$$
   $$5y^4+90y^2-95=0,$$
   $$y^4+18y^2-19=0.$$
   Пусть $$t=y^2$$. Тогда
   $$t^2+18t-19=0.$$
   $$D=18^2+76=400,$$
   $$t=\frac{-18\pm 20}{2}.$$
   Получаем
   $$t_1=1,\quad t_2=-19.$$
   Подходит только $$y^2=1,$$ значит
   $$y=\pm 1.$$
   Тогда
   $$x^2=\frac{15+3\cdot 1}{2}=9,\quad x=\pm 3.$$

   Получаем решения: $$(-3;1),\ (-3;-1),\ (3;1),\ (3;-1).$$

4. г)

   $$\begin{cases} x^2+y^2=10,\\ x^4+y^4=82 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2=10-y^2.$$
   Подставим во второе:
   $$\left(10-y^2\right)^2+y^4=82.$$
   Тогда
   $$100-20y^2+y^4+y^4=82,$$
   $$2y^4-20y^2+18=0,$$
   $$y^4-10y^2+9=0.$$
   Пусть $$t=y^2$$. Тогда
   $$t^2-10t+9=0.$$
   $$D=100-36=64,$$
   $$t=\frac{10\pm 8}{2}.$$
   Получаем
   $$t_1=1,\quad t_2=9.$$
   Значит,
   $$y=\pm 1 \quad \text{или} \quad y=\pm 3.$$
   Если $$y^2=1,$$ то
   $$x^2=10-1=9,\quad x=\pm 3.$$
   Если $$y^2=9,$$ то
   $$x^2=10-9=1,\quad x=\pm 1.$$

   Получаем решения: $$(-3;1),\ (-3;-1),\ (3;1),\ (3;-1),\ (-1;3),\ (-1;-3),\ (1;3),\ (1;-3).$$

Ответ

а) $$(-2;1),\ (-2;-1),\ (2;1),\ (2;-1);$$
б) $$(-3;2),\ (-3;-2),\ (3;2),\ (3;-2);$$
в) $$(-3;1),\ (-3;-1),\ (3;1),\ (3;-1);$$
г) $$(-3;1),\ (-3;-1),\ (3;1),\ (3;-1),\ (-1;3),\ (-1;-3),\ (1;3),\ (1;-3).$$