Упр.6.10 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система
хy(х + y) = 6,
ху +(х + у)= 5;
б) система
3(х — у)2 + 2(х + 2у)2 = 5,
2(х + 2у) — х + у = 1;
в) система
5(х+ у) + 4 ху = 32,
ху(х + у) = 12;
г) система
2(х + у)2 + 3(х + 2 у) = 5,
3(х + 2у) — 2х — 2у = 5.

Подробный ответ

Положим $$t=xy,$$ $$k=x+y.$$ Тогда система
$$ \begin{cases} xy(x+y)=6,\\ xy+(x+y)=5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} tk=6,\\ t+k=5 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$t=5-k.$$ Подставим в первое:
$$k(5-k)=6$$
$$k^2-5k+6=0$$
$$ (k-2)(k-3)=0 $$
Отсюда $$k=2$$ или $$k=3.$$
1) Если $$x+y=2,$$ то $$xy=3.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y=2,\\ xy=3 \end{cases} $$
Подставим $$x=2-y$$:
$$y(2-y)=3$$
$$y^2-2y+3=0$$
$$D=4-12=-8<0,$$ решений нет.
2) Если $$x+y=3,$$ то $$xy=2.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ xy=2 \end{cases} $$
Подставим $$x=3-y$$:
$$y(3-y)=2$$
$$y^2-3y+2=0$$
$$ (y-1)(y-2)=0 $$
Отсюда $$y=1$$ или $$y=2.$$ Тогда соответственно $$x=2$$ или $$x=1.$$
Получаем решения: $$ (2;1) $$ и $$ (1;2).$$
Положим $$t=x-y,$$ $$k=x+2y.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 3(x-y)^2+2(x+2y)^2=5,\\ 2(x+2y)-x+y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3t^2+2k^2=5,\\ 2k-t=1 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$t=2k-1.$$ Подставим в первое:
$$3(2k-1)^2+2k^2=5$$
$$3(4k^2-4k+1)+2k^2=5$$
$$14k^2-12k-2=0$$
$$7k^2-6k-1=0$$
$$D=36+28=64$$
$$ k_{1,2}=\frac{6\pm 8}{14} $$
Отсюда $$k_1=-\frac17,$$ $$k_2=1.$$ Тогда
$$t_1=2\cdot\left(-\frac17\right)-1=-\frac97,$$ $$t_2=2\cdot1-1=1.$$
1) Если $$x+2y=-\frac17,$$ $$x-y=-\frac97,$$ то
$$x=-\frac17+y$$
$$-\frac17+y+2y=-\frac17$$
$$3y=\frac87,\quad y=\frac{8}{21}$$
$$x=-\frac17+\frac{8}{21}=\frac{5}{21}.$$
2) Если $$x+2y=1,$$ $$x-y=1,$$ то
$$x=1+y$$
$$1+y+2y=1$$
$$3y=0,\quad y=0,\quad x=1.$$
Получаем решения: $$\left(\frac{5}{21};\frac{8}{21}\right)$$ и $$ (1;0).$$
Положим $$t=xy,$$ $$k=x+y.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 5(x+y)+4xy=32,\\ xy(x+y)=12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5k+4t=32,\\ tk=12 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$t=\frac{12}{k}.$$ Подставим в первое:
$$5k+\frac{48}{k}=32$$
$$5k^2-32k+48=0$$
$$D=1024-960=64$$
$$ k_{1,2}=\frac{32\pm 8}{10} $$
Отсюда $$k_1=\frac{12}{5},$$ $$k_2=4.$$ Тогда
$$t_1=\frac{12}{12/5}=5,\quad t_2=\frac{12}{4}=3.$$
1) Если $$x+y=\frac{12}{5},$$ $$xy=5,$$ то
$$x=\frac{12}{5}-y$$
$$\left(\frac{12}{5}-y\right)y=5$$
$$y^2-\frac{12}{5}y+5=0$$
$$D=\frac{144}{25}-20<0,$$ решений нет.
2) Если $$x+y=4,$$ $$xy=3,$$ то
$$x=4-y$$
$$y(4-y)=3$$
$$y^2-4y+3=0$$
$$ (y-1)(y-3)=0 $$
Отсюда $$y=1$$ или $$y=3.$$ Тогда $$x=3$$ или $$x=1.$$
Получаем решения: $$ (3;1) $$ и $$ (1;3).$$
Положим $$t=x+y,$$ $$k=x+2y.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 2(x+y)^2+3(x+2y)=5,\\ 3(x+2y)-2x-2y=5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2t^2+3k=5,\\ 3k-2t=5 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$k=\frac{5+2t}{3}.$$ Подставим в первое:
$$2t^2+3\cdot\frac{5+2t}{3}=5$$
$$2t^2+5+2t=5$$
$$2t^2+2t=0$$
$$2t(t+1)=0$$
Отсюда $$t=0$$ или $$t=-1.$$
1) Если $$x+y=0,$$ $$x+2y=\frac53,$$ то
$$x=-y$$
$$-y+2y=\frac53$$
$$y=\frac53,\quad x=-\frac53.$$
2) Если $$x+y=-1,$$ $$x+2y=1,$$ то
$$x=-1-y$$
$$-1-y+2y=1$$
$$y=2,\quad x=-3.$$
Получаем решения: $$\left(-\frac53;\frac53\right)$$ и $$(-3;2).$$