Упр.5.39 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) система
x2+y<0, y-2x>0;
б) система
y- корень x>=0,
x-2y>=0.

а) Перепишем систему в виде неравенств относительно $y$:

$$ \begin{cases} x^2+y<0,\\ y-2x>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y<-x^2,\\ y>2x \end{cases} $$

Построим графики функций $y=-x^2$ и $y=2x$. Решением будет область, лежащая ниже параболы и выше прямой, без границ.

Точки пересечения графиков найдём из уравнения:

$$ -x^2=2x $$
$$ x^2+2x=0 $$
$$ x(x+2)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=-2 $$

Соответствующие значения $y$:

$$ x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=-2 \Rightarrow y=-4 $$

Между этими значениями $x$ выполняется одновременно $y<-x^2$ и $y>2x$.

$$ -2<x<0,\qquad -4<y<0 $$

б) Перепишем систему:

$$ \begin{cases} y-\sqrt{x}\ge 0,\\ x-2y\ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y\ge \sqrt{x},\\ y\le \dfrac{x}{2} \end{cases} $$

Так как есть корень, обязательно $x\ge 0$.

Найдём точку пересечения графиков $y=\sqrt{x}$ и $y=\dfrac{x}{2}$:

$$ \sqrt{x}=\frac{x}{2} $$
$$ 2\sqrt{x}=x $$
$$ x=0 \text{ или } x=4 $$

Тогда

$$ x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=4 \Rightarrow y=2 $$

Область решений — точки, лежащие между графиками, включая границы:

$$ x\ge 4,\qquad \sqrt{x}\le y\le \frac{x}{2} $$

Ответ

а) $$-2<x<0,\quad -4<y<0.$$
б) $$x\ge 4,\quad \sqrt{x}\le y\le \dfrac{x}{2}.$$