Упр.5.39 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Решите графически систему неравенств: а) $$\begin{cases} x^2+y<0,\\ y-2x>0; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} y-\sqrt{x}\geq 0,\\ x-2y\geq 0. \end{cases}$$

а) Перепишем систему в виде неравенств относительно $$y$$:

$$\begin{cases} x^2+y<0,\\ y-2x>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y<-x^2,\\ y>2x \end{cases}$$

Построим графики функций $$y=-x^2$$ и $$y=2x$$. Решением будет область, лежащая ниже параболы и выше прямой, без границ.

Точки пересечения графиков найдём из уравнения:

$$-x^2=2x$$
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-2$$

Соответствующие значения $$y$$:

$$x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=-2 \Rightarrow y=-4$$

Между этими значениями $$x$$ выполняется одновременно $$y<-x^2$$ и $$y>2x$$.

$$-2<x<0,\qquad -4<y<0$$

б) Перепишем систему:

$$\begin{cases} y-\sqrt{x}\ge 0,\\ x-2y\ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y\ge \sqrt{x},\\ y\le \dfrac{x}{2} \end{cases}$$

Так как есть корень, обязательно $$x\ge 0$$.

Найдём точку пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=\dfrac{x}{2}$$:

$$\sqrt{x}=\frac{x}{2}$$
$$2\sqrt{x}=x$$
$$x=0 \text{ или } x=4$$

Тогда

$$x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=4 \Rightarrow y=2$$

Область решений — точки, лежащие между графиками, включая границы:

$$x\ge 4,\qquad \sqrt{x}\le y\le \frac{x}{2}$$

Ответ

а) $$-2<x<0,\quad -4<y<0.$$
б) $$x\ge 4,\quad \sqrt{x}\le y\le \dfrac{x}{2}.$$