Упр.5.38 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

система
х2 + у2 = 4,
y-x2=p
имеет:
а) три решения; б) одно решение?

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2+p. \end{cases} $$

Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=2$$. Второе уравнение задаёт параболу $$y=x^2+p$$, вершина которой находится в точке $$\left(0;p\right)$$.

Чтобы система имела три решения, парабола должна касаться окружности в одной точке и пересекать её ещё в двух точках. Это возможно, когда вершина параболы лежит на окружности снизу:

$$ p=-2. $$

Тогда вершина параболы имеет координаты $$\left(0;-2\right)$$, и система имеет три решения.

Чтобы система имела одно решение, парабола должна касаться окружности в одной точке сверху:

$$ p=2. $$

Тогда вершина параболы имеет координаты $$\left(0;2\right)$$, и система имеет одно решение.

Ответ

а) $$p=-2$$; б) $$p=2$$.