Упр.5.38 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

При каком значении параметра $$p$$ система уравнений $$\begin{cases} x^2+y^2=4, \\ y-x^2=p \end{cases}$$ имеет: а) три решения; б) одно решение?

Преобразуем систему:

$$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2+p. \end{cases}$$

Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=2$$. Второе уравнение задаёт параболу $$y=x^2+p$$, вершина которой находится в точке $$\left(0;p\right)$$.

Чтобы система имела три решения, парабола должна касаться окружности в одной точке и пересекать её ещё в двух точках. Это возможно, когда вершина параболы лежит на окружности снизу:

$$p=-2.$$

Тогда вершина параболы имеет координаты $$\left(0;-2\right)$$, и система имеет три решения.

Чтобы система имела одно решение, парабола должна касаться окружности в одной точке сверху:

$$p=2.$$

Тогда вершина параболы имеет координаты $$\left(0;2\right)$$, и система имеет одно решение.

Ответ

а) $$p=-2$$; б) $$p=2$$.